线性代数居余马第5章-特征值与特征向量.ppt

第5章特征值和特征向量

矩阵的对角化5.1矩阵的特征值和特征向量相似矩阵定义5.1设A是复数域C上的n阶矩阵，如果存在数??C和非零n维向量x，使得 Ax=?x 那么称?为A的特征值，x为A的属(对应)于特征值?的特征向量。注意:特征向量x是非零向量,是齐次线性方程组5.1.1特征值和特征向量的根本概念(?I?A)x=0的非零解。?应满足 |?I?A|=0即?是多项式det(?I?A)的零点。

定义5.1设n阶矩阵A=(aij),那么称为A的特征多项式。(?I?A)称为A的特征矩阵。|?I?A|=0称为A的特征方程。n阶矩阵A的特征多项式在复数域上的n个根都是矩阵A的特征值，其k重根叫做k重特征值。例１n阶对角矩阵A，上(下)三角形矩阵B的特征值都是它们的n个主对角元a11,a22,?,ann。因为它们的特征多项式为??I-A?=??I-B?=(??a11)(??a22)?(??ann)

得根底解系：x2=(1,1,0)T,x3=(1,0,1)T。 k1x1+k2x2〔k1,k2是不全为零的任意常数〕是A关于?2的全部的特征向量。例２求矩阵的特征值及特征向量。解：A的特征方程为A的特征值为:?1=0,?2=?2(二重特征值)。对于?1=0，求解(?1I?A)x=0，即得根底解系：x1=(?1,?1,1)T。kx1(k?0为任意常数)是A的属于?1的全部特征向量。对于?2=?2，求解(?2I?A)x=0,即

定理5.1假设x1,x2是A属于?0的两个的特征向量，那么k1x1+k2x2也是A属于?0的特征向量(其中k1,k2是任意常数，但k1x1+k2x2?0)。证：x1，x2是齐次线性方程组(?I?A)x=0的解，所以， k1x1+k2x2也是(?I?A)x=0的解，故当k1x1+k2x2?0时，也是A的属于?0的特征向量。(?I?A)x=0的解空间称为A的关于?的特征子空间，记作V?。dimV?=n?r(?I?A)={k1x1+k2x2|x2=(1,1,0)T,x3=(1,0,1)T,k1,k2?R}=L((1,1,0)T,(1,0,1)T)5.1.2特征值和特征向量的性质如例２中，={kx|x=(?1,?1,1)T,k?R}=L((?1,?1,1)T);

定理5.2假设n阶矩阵A=(aij)的n个特征值为?1,?2,?,?n，那么称A的主对角元的和为A的迹，记作tr(A)。*证：设(*) =?n+c1?n?1+?+ck?n?k+?+cn-1?+cn(*)式可表示为2n个行列式之和,其中展开后含?n?1项的行列式有下面n个：

它们的和等于?(a11+a22+…+ann)?n?1=(*)式中不含?的常数项为所以，由根与系数的关系及常数项相等，得

由定理5.2得：矩阵A可逆的充要条件是A的任意一个特征值不等于零；或A为奇异阵的充要条件是A至少有一个特征值等于零。A的一个特征值可对应很多特征向量；但A的一个特征向量不能属于不同的特征值。性质1假设?是A的特征值,x是A的属于?的特征向量。那么(1)k?是kA的特征值〔k为任意常数〕；(2)?m是Am的特征值;(3)假设A可逆，那么??1为A?1的一个特征值，而且x仍然是矩阵kA,Am和A?1的分别对应于特征值k?,?m和??1的特征向量。证(2)(3)由Ax=?x得A2x=A(?x)=?(Ax)=?(?x)=?2x，继续得Amx=?mx。A?1(Ax)=A?1(?x)=?(A?1x),所以，(A?1x)=??1x。

性质2矩阵A和AT的特征值相同。证：det(?I?A)=det(?I?A)T=det((?I)T?AT)=det(?I?AT)*定理5.3设A是n阶矩阵，假设有一个成立，那么A的所有特征值?i(i=1,2,…,n)的模〔对实特征值是指绝对值〕|?i|1。证明〔见教材p229〕略去。

例3设解(1)A的特