北京工业大学线性代数第三章第四节平面﹒空间直线及其方程.ppt

第四节 平面、空间直线及其方程 一．平面及其方程 二． 空间直线及其方程 三． 直线与平面的位置关系 * * 一．平面及其方程 ⒈ 平面的点法式方程 如果非零向量垂直于一个平面， 则称这个向量为该平面的法向量． 法向量： 说明： 则 一个平面的法向量不唯一,任意两个法 向量共线. 是空间一点， 则过 且以 为法向量的平面是唯一的． 一个平面的法向量与平面内任意向量正交.(法向量的特征) 若 是上述平面 内任意一点， 则 因为 即 所以 为平面的 点法式方程。 例1 求过三点 的平面方程． 解： 方法一 则 为所求平面的法向量， 由点法式方程 所求平面方程为 方法二 共面， 所以 即 为所求平面方程。 设 是平面 内任意一点，则 ⒉ 平面的一般式方程 由平面的点法式方程 为平面的一般式方程 法向量是 平面一般方程的几种特殊情况： 平面方程为 该平面过原点． 平面方程为 该平面平行x 轴，法向量 同理，可讨论 平面方程为 该平面平行于xy 面，法向量 同理可讨论 ⑷ 三个坐标面的方程 xy 面的方程： 法向量 yz 面的方程为： 法向量 xz 面平面方程为： 法向量 ⒊ 平面的截距式方程 为平面的截 距式方程 4. 两平面的夹角 定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角. 两平面夹角余弦公式 （通常取锐角） 5. 两平面位置特征： 利用线性方程组解的情况进行研究 ,看: 方程组无解 方程组有解且有一个 多余方程 ⑶ 不对应成比例 线． 方程组有解且无多余方程 特别地， 取法向量 化简得 所求平面方程为 解: 设平面为 由平面过原点知 所求平面方程为 解: 6. 点到平面的距离 d 点到平面距离公式 二． 空间直线及其方程 ⒈ 空间直线的一般方程 空间直线可看成两平面的交线． 为空间直线l的一般式方程。 线 为 * * * *