北京工业大学线性代数.PPT

第五节 行列式按一行（列）展开 一、余子式、代数余子式的概念 二、行列式按行（列）展开法则 * 三阶行列式与二阶行列式的关系 其中 分别称为 的余子式， 分别称为 的代数余子式。 数余子式的乘积之和。 3阶行列式等于它的第一行元素与自己的代 说明： 上述结论对于n阶行列式的任意一行也成立。 猜想： 阶行列式中, 把元素 称为 而 的代数余子式． 在 所在的第 行和第 列划去后, 留下来的 阶行列式称 的余子式, 记作 如： 一、余子式与代数余子式 定义： 为元素 式和一个代数余子式。 行列式的每个元素分别对应着一个余子 注： 一个n 阶行列式,如果其中第 例如 引理 行所有 元素除 外都为零，那末这个行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 二、行列式按行（列）展开法则 当 aij 位于第一行第一列时, 又 从而 证明 把D的第i行依次与第i-1行,i-2行,···,1行对调,得 若aij位于第i行第j列, 把D的第j列依次与第j-1列,j-2列,···,1列对调,得 中的余子式 在 中的余子式 也是 在 于是有 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 证 定理 用行列式按行（列）展开法则可将行 列式降阶。 将计算1个三阶行列式转换为计算3个二阶 行列式。一个n 阶行列式按行（列）展开后， 得到 n个n-1阶行列式，可以减少计算量。 如 说明： 计算行列式的基本方法之二 先利用行列式的性质将行列式的某一行(列)许多元素化成0，然后再按这一行(列)展开。这样继续下去，总可以将一个高阶行列式的求值问题转化成2阶行列式的求值问题, 从而大大简化了计算。 为了尽量避免分数运算，尽可能选择1或-1所在的行(或列)把该行(或列)的许多元素化成0，然后按该行(或列)展开。 说明 例1 例2 计算行列式 （书 P22例1·5·2） 解 例3 证明 证 按行列式第一行展开 左端 用数学归纳法可以证明： 例4 计算 阶行列式 解： 问题： 把下述3阶行列式的第1行元素与第2行相 应元素的代数余子式相乘再相加，结果如何呢？ 说明：3阶行列式的第1行元素与第2行相应元素的代数余子式乘积之和等于0。 猜想：n阶行列式也有类似结论. =0 把D中的第2行元素换成第1行元素, 得下述行列式, 按第二行展开 = 行列式D的任一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于零， 即 证 定理 设 把D中的第j行元素换成第i行元素，得下述行列式 * * *