线性代数第五章节二次型.ppt
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第六章二次型 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 一、n元二次型的概念 1、二次型及其矩阵 的二次齐次多项式 定义5.1 含有n个变量 ① 称为二次型. 或记为 注 ①当常数项为实数时,称为实二次型; ②当常数项为复数时,称为复二次型. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定义 只含有平方项的二次型 称为二次型的标准形. 定义 特别地,称 为二次型的规范形. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 2、二次型 的矩阵表示 ③ ② 1、二次型 的和式表示 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 则二次型 . 其中矩阵A为对称矩阵. 令 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 任一二次型f 对称矩阵A 任一对称矩阵A 二次型f 一一对应 f称为对称矩阵A的二次型; A称为二次型f的矩阵; 对称矩阵A的秩称为二次型f的秩. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 3)复数域C上的4元二次型 例11)实数域R上的2元二次型 2)实数域上R的3元二次型 练习 写出下列二次型的对称矩阵. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. (二).线性变换 定义5.2 关系式 称为由变量 到变量 的一个线性变量替换,简称 线性替换 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 矩阵 线性替换的矩阵. 时称该线性替换为 非退化的线性替换. 以上线性替换可以表示为 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 即线性替换是非退化的,则 代入二次型xTAx, 则 其中B=CTAC为对称矩阵. 因此yTBy是以B为矩阵的n元二次型 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例题 将以下二次型化为标准形 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定义 设A,B为n阶方阵,若存在n阶可逆阵P, 则称A合同于B,记为 ①反身性 ②对称性 ③传递性 性质 ④合同矩阵具有相同的秩. ⑤与对称矩阵合同的矩阵也是对称矩阵. 等价 使得 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 5.
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