第四章中值定,导数的应用.ppt

微 积 分 链接目录 参考书 第四章 中值定理 Cauchy定理又称为广义微分中值定理 例6 证 分析: 结论可变形为 例7 设f(x)在x=0的某邻域内具有二阶导数，且 试证 证 由题设知 满足Cauchy定理的条件 由Cauchy公式得 再对函数 应用Cauchy公式，有 若f(x)在x=0的某邻域内具有 n 阶导数，且 ——这就是Taylor公式 例8 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导， 证明 证 f(x)在[a,b]上满足Lagrange定理的条件 满足Cauchy定理的条件 满足Cauchy定理的条件 注 这类所谓多中值问题的证明一般不作辅助函数 而是分别求出一个函数的Lagrange公式，另一 个函数的Cauchy公式，利用f(b)－f(a)或某种运 算建立关系。 微积分 莫兴德 广西大学 数信学院 Email:moxingde@gxu.edu.cn 复习 第九章 微分方程 第八章 多元函数 第七章 无穷级数(不要求) 第六章 定积分 第五章 不定积分 第四章 中值定理,导数的应用 第三章 导数与微分 第二章 极限与连续 第一章 函数 [1]赵树嫄. 微积分. 中国人民出版社 [2]同济大学. 高等数学. 高等教育出版社 中值定理 第二章我们讨论了微分法，解决了曲线的切线、法线及有关变化率问题。这一章我们来讨论导数的应用问题。 我们知道，函数 在区间 上的增量 可用它的微分 来近似计算 其误差是比 高阶的无穷小 是近似关系 是极限关系,都不便应用 我们的任务是寻求差商与导数的直接关系，既不是极限关系，也不是近似关系。对此，Lagrange中值定理给出了圆满的解答： ——导数应用的理论基础 本章我们先给出Rolle定理（它是Lagrange定理的特殊情况），由特殊过渡到一般来证明Lagrange定理和Cauchy定理，有了Cauchy定理就可以给出Taylor中值定理及L， Hospital法则，这就是本章理论部分的主要内容。 理论部分结构图 Lagrange定理 特例 Rolle定理 推广 Cauchy定理 推广 Taylor定理 本章的导数应用部分就是以此为基础展开讨论的，利用Lagrange定理给出了可导函数的单调性和凹凸性的判定法则，可以讨论可导函数取得极值的条件；有了L， Hospital法则，可以进一步讨论 等各种类型的未定式的极限；此外利用中值定理和 单调性还可证明一些不等式。 重点 微分中值定理 L， Hospital法则 Taylor公式 求函数的极值和最值 难点 中值定理 L， Hospital法则的运用 利用中值定理证明不等式 基本要求 ①正确理解和掌握R、L、C、T定理及它们之 间的关系 ②熟练运用L—法则求未定式的极限 ③掌握函数展开成Taylor公式的方法，熟记 的Taylor公式 ④熟练掌握单调性的判定方法，会利用单调性 来证明不等式 ⑤正确理解函数取得极值的条件，掌握极值判定 条件及求法 ⑥掌握函数凹凸性的判定方法，会求曲线的拐点 ⑦会用中值定理证明不等式 先讲中值定理，以提供必要的理论基础 一、罗尔(Rolle)定理 定理(Rolle) 若函数f ( x ) 满足 （1）在闭区间[a,b]上连续 （2）在开区间(a,b)内可导 （3）在区间端点处的函数值相等f(a)=f(b) 例如, 几何解释: 若连续曲线弧的两个 端点的纵坐标相等，且除去两个端点外处处有不垂直于横轴的切线， 物理解释: 变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零. 证 注 ① Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导 区间端点处的函数值相等； 这三个条件只是充分条件，而非必要条件 如：y=x2在[-1,2]上满足(1),(2)，不满足(3) 却在(-1,2)内有一点 x=0 使 但定理的条件又都是必须的，即为了保证结论成立 三个条件缺一不可。 例如, 又例如, 在[0,1]上除去x=0不连续外，满足罗尔定理的 一切条件 再例如 在[0,1]上除去端点的函数值不相等外，满足罗尔定理的一切条件 ②罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数 等0的点。有的函数这样的点可能不止一个； 另外还要注意点ξ并未具体指出，即使对于给定 的具体函数，点ξ也不一定能指出是哪一点， 如 在[-1，0]上满足罗尔定理的全部条件，而 但却不易找到使 但根据定理，这样的点是存在的。即便如此，我们 将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用 例1 证 由介值定理 即为方程的小于1的正实根. 矛盾, 例2 证明 至多有三个实根 证 直接证明有困难，采用反证法 设 有四个实根 连续、可导 对 用罗尔定理得 连续、可导 对 用罗尔定理