第四章中值定理与导数应用.doc

第四章 中值定理与导数应用 §4.1 中值定理 定理 4.1.1 (罗尔定理)如果 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 满足：（1）在闭区间上[ SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ]上连续; （2）在开区间( SKIPIF 1 0 )内可导;（3） SKIPIF 1 0 . SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 则在开区间( SKIPIF 1 0 上至少存在一点 SKIPIF 1 0 ,使得 SKIPIF 1 0 罗尔定理的几何意义是: 在连续高度相同的两点的一段曲线上,如果每一点都有不垂直于 SKIPIF 1 0 轴的切线,那么至少有一点上的切线是平行于 SKIPIF 1 0 轴的切线,那么至少有一点的切线是平行于 SKIPIF 1 0 轴的(图4-1). 关于罗尔定理,需注意如下几点: 罗尔定理的三个前提条件缺一不可,当缺少其中一个条件时,罗尔定理将不一定成立,这一点读者可以举例说明. 罗尔定理的结论只强调点 SKIPIF 1 0 的存在性,至于该点究竟在区间 SKIPIF 1 0 内的什么位置,有时并不需要研究, 罗尔定理结论中满足 SKIPIF 1 0 的点 SKIPIF 1 0 并不是唯一的.这一点通过图4-1可以清晰的看到. 例1 设物体作直线运动,其运动方程为 SKIPIF 1 0 ,如果物体在两个不同时刻 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 时处于同一位置,即 SKIPIF 1 0 ,并且物体的运动方程 SKIPIF 1 0 连续,可导,那么根据罗尔定理,在时刻 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 之间,必定有某一时刻 SKIPIF 1 0 ,在该时刻,物体的运动速度为0,即 SKIPIF 1 0 ,上抛运动、弹簧的振动等问题中都有这个结果. 定理4.1.2 (拉格朗日中值定理) 如果 SKIPIF 1 0 满足: 在闭区间 SKIPIF 1 0 上连续;（2）在开区间 SKIPIF 1 0 内可导. 则在 SKIPIF 1 0 内至少存在一点 SKIPIF 1 0 ,使得: SKIPIF 1 0 拉格朗日中值定理的几何意义: 如图4-2,显然,点 SKIPIF 1 0 的坐标是 SKIPIF 1 0 ,点 SKIPIF 1 0 的坐标是 SKIPIF 1 0 ,因此,连接 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 两点的直线斜率为: SKIPIF 1 0 。 拉格朗日中值定理告诉我们,在连接 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 两点的一条连续的切线上,如果过每一点,曲线都有不垂直于 SKIPIF 1 0 轴的切线,则曲线上至少有一点 SKIPIF 1 0 ,过该点的切线平行于直线 SKIPIF 1 0 . 拉格朗日中值定理是比较重要的的一条定理,关于该定理,我们作如下说明: 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广,罗尔定理是拉格朗日中值定理的一个特例,在拉格朗日中值定理中,如果令 SKIPIF 1 0 ,就得到了罗尔定理. 拉格朗日中值定理的结论是”存在一点 SKIPIF 1 0 ”,着重强调点 SKIPIF 1 0 的存在性,通常并不要求找到点 SKIPIF 1 0 具体的值,也不要求满足” SKIPIF 1 0 ”的点 SKIPIF 1 0 的唯一性. 拉格朗日中值定理有两个重要推论: 推论 1 如果对于任意的 SKIPIF 1 0 ∈ SKIPIF 1 0 ,都有 SKIPIF 1 0 ,则 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 内恒等于常数. 证明 （略） 推论 2 若对任意的 SKIPIF 1 0 ∈ SKIPIF 1 0 ,都有 SKIPIF 1 0 ,则必有 SKIPI