第四章中值定理导数应用习题课(11级).ppt

中值定理与导数的应用习题课 6. 微分中值定理的主要应用 练习 1. 设实数 例3. 设 * 一、微分中值定理 1．罗尔定理 2．拉格朗日中值定理 3．柯西中值定理 在 上连续, 在 内可导, 且 在 上连续, 在 内可导, 则至少存在一 使 在 上连续, 在 内可导, 则至少存在一 使 则至少存在一 使 5. 三个定理之间的内在联系 拉格朗日中值定理 罗尔定理 柯西中值定理 4. 判别 的方法 若 ，则 (1) 研究函数或导数的性态 (2) 证明恒等式或不等式 (3) 证明有关中值问题的结论 7. 有关中值问题的解题方法 利用逆向思维,设辅助函数. 8. 典型例题 定理的三个条件。 【例1】 若方程 有一个正根 证明方程 分析 如果令 ，无法判定 , 所以不能利用零点定理, 考虑利用罗尔定理证明。 的左端函数, 其次 在题设的相应区间上满足罗尔 首先构造一个函数 使 ，其中 是欲证方程 必有一个小于 的正根. 证明: 设 由罗尔定理，存在 使 即 这说明 就是方程 的一个小于 的正根. 由题设 易知多项式函数 在 上连续且可导, 满足下述等式 证明方程 在 ( 0 , 1) 内至少有一 个实根 . 证: 令 则可设 且 由罗尔定理知存在一点 使 即 证明: 在 上应用拉格朗日中值定理, 对函数 即 故 或 得 显然有 【例2】 设 证明： 在 内可导, 且 证明至少存在一点 使 上连续, 在 证: 问题转化为证 设辅助函数 显然 在 [ 0 , 1 ] 上满足罗尔定理条件, 故至 使 即有 少存在一点 【练习】 设 在 上连续, 在 内可导, 且 证明存在一点 使 证明: 令 且 即 由已知条件知 在 上连续, 在 内可导， 故由罗尔定理知, 使 【例4】 设 在 上连续, 在 内可导, 且 证明存在一点 使 证明: 令 且 即 由已知条件知 在 上连续, 在 内可导， 故由罗尔定理知, 使 【例5】 设 在 上连续, 在 内可导, 且 证明存在一点 使 证明: 令 且 即 由已知条件知 在 上连续, 在 内可导， 故由罗尔定理知, 使 构造辅助函数 构造辅助函数 构造辅助函数 总结： 通过恒等变形 二、洛必达(L?Hospital)法则 lim f (x) = lim g(x) = 0(或?), 存在或为?, 则 其他未定式: 解决方法: 通分 转化 取倒数 转化 取对数 转化 例1. 求极限 解 原式 例2. 解 则 原式 = 解: 令 (继续用 ) 法则 法则 例4. 求极限 解 所以 洛 三、函数的极值与单调性 1．函数极值的定义 2．函数的驻点 3．函数的单调区间的判别 则 为 的驻点. 在 上，若 ，则单调增加； 若 ，则单调减少； 为极大值. ) ( ), ( ) ( ), , ( 0 0 0 。 x f x f x f x U x ￡ ? d 1．函数凹凸性定义 2．函数的拐点 称曲线为凹的； 称曲线为凸的。 3．函数凹凸性的判别 二、函数的凹凸性及拐点 凹弧与凸弧的分界点 。 凹 ； 凸。 1．第一充分条件 三