第四章中值定理导数的应用21579.doc
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第四章 中值定理与导数的应用
1 、设 为正整数， ，则存在 ，使
?? 函数 在 可导，其中 ，证明：存在 ，使得
3 、设 可导，求证： 在两零点之间一定有 的零点 .
4 、应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：
（ 1 ）
（ 2 ） 等号成立当且仅当
（ 3 ）
（ 4 ）
（ 5 ）
5 、求下列待定型的极限：
（ 1 ） （ 2 ）
（ 3 ） （ 4 ）
（ 5 ） （ 6 ）
（ 7 ） （ 8 ）
（ 9 ） （ 10 ）
（ 11 ） （ 12 ）
（ 13 ） （ 14 ）
（ 15 ） （ 16 ）
（ 17 ） （ 18 ）
（ 19 ） （ 20 ）
（ 21 ） （ 22 ）
6 、下列函数不能用洛必达法则求极限：
（ 1 ） （ 2 ）
（ 3 ） （ 4 ）
7 、对函数 在 上应用拉格朗日中值定理有
试证对下列函数有 ：
（ 1 ） （ 2 ）
8 、设 二阶可导，求证：
9 、设函数在点 具有连续的二阶导数，证明
10 、应用函数的单调性证明下列不等式：
（ 1 ） （ 2 ）
（ 3 ） （ 4 ）
（ 5 ）
11 、确定下列函数的单调区间：
（ 1 ） （ 2 ）
（ 3 ） （ 4 ）
（ 5 ） （ 6 ）
12 、求下列函数的极值：
（ 1 ） （ 2 ）
（ 3 ） （ 4 ）
（ 5 ） （ 6 ）
13 、求下列函数在指定区间上的最大值与最小值
（ 1 ） （ 2 ）
（ 3 ） （ 4 ）
14 、给定长为 的线段，试把它分成两段，使以这两段为边所围成的矩形面积为最大 .
15 、求内接于椭圆 而边平行于坐标轴的面积最大的矩形 .
16 、点 到抛物线 最短距离 .
17 、做一个圆柱形锅炉，已知起容积为 ，两端面材料的每单位面积价格为 元 . 侧材料的每单位面积价格为 元，问锅炉的直径与高的比等于多少时，造价最省？
18 、某村计划修建一条断面面积为 的梯形渠道，侧面的坡度为 （即底边与斜高间夹角 满足 ），底边 与斜高 为多长时湿周最小 . （根据经验，湿周最小时渠道过水能力最大 . ）
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