《高等数学》教案设计---第四章--中值定理与导数的应用.doc

PAGE PAGE 58 第四章 中值定理与导数的应用 中值定理是利用导数研究函数性质的重要工具。导数只是反映函数在某一点附近的局部变化性态，而在理论研究和实际应用中，常常需要知道函数在某一区间上的整体变化情况与它在区间内某些点处的局部变化性态之间的关系。中值定理正是对这一关系的理论解释。本章以中值定理为基础，以导数为工具，解决一类特殊类型的（不定式）极限的计算问题，研究函数的单调性、极值问题、最值问题、曲线的凹凸性、函数图形的描绘等理论和实际应用问题。 §4.1 中值定理 一、罗尔定理 如果函数f (x)满足条件：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）上可导；（3）在区间两个端点的函数值相等，即f (a) = f (b)，则至少存在一点ξ ∈（a，b），使得。 几何意义：如果连续光滑曲线y = f (x) 在点A、B处纵坐标相等，那么在弧AB上至少有一点C（ξ，f (ξ)），曲线在C点的切线平行于x轴。 习题1（4）、4： 二、拉格朗日定理 如果函数f (x) 满足条件：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）上可导，则至少存在一点ξ ∈（a，b），使得 或 当f (a) = f (b)时，该定理变为罗尔定理。罗尔定理是此定理的特殊形式。 几何意义：假设函数y = f (x)在闭区间[a，b]上的图形是连续光滑曲线弧AB，两点坐标A（a，f (a)）、B（b，f (b)），则在弧AB上至少有一点C，曲线在C点的切线平行于弦AB。 推论1：如果函数f (x)在区间（a，b）内任意一点的导数都等于0，则函数f (x)在区间（a，b）内是一个常数。 推论2：如果函数f (x)与g(x)在区间（a，b）内每一点的导数与都相等，则这两个函数在区间（a，b）内至多相差一个常数。 习题2（2）、5、7： 三、柯西定理 设函数f (x)与g(x)满足条件：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）上可导；（3）在（a，b）内任一点处都不等于0，则至少存在一点ξ ∈（a，b），使得 拉格朗日定理是柯西定理当g(x) = x时的特殊情况。 习题：1--7 §4.2 洛必达法则 两个无穷小量之比的极限或两个无穷大量之比的极限，有的存在，有的不存在。这类极限为“未定式”，记为“”或“”。本节利用中值定理导出一个求未定式极限的法则——“洛必达法则” 1、定理：设函数f (x)与g(x)满足条件： （1）， （2）在点a的某个邻域内（点a可以除外）可导，且， （3） 则必有： 以上当x→∞时亦适用。此定理是解决“”型未定式的极限问题。如果还是“”型未定式，且函数与能满足定理中f (x)与g(x)应满足的条件，则再继续使用洛必达法则，则有 且以此类推，直到求出所要求的极限。 2、定理：设函数f (x)与g(x)满足条件： （1）， （2）在点a的某个邻域内（点a可以除外）可导，且， （3） 则必有： 以上当x→∞时亦适用。此定理是解决“”型未定式的极限问题。 习题9（6）： 洛必达法则不仅可以用来解决型和型未定式的极限问题，还可用来解决0·∞、∞－∞、1∞、00、∞0等型的未定式的极限问题。 3、对于0·∞ 型未定式，把其中一个因子取倒数放在分母上或通分，即可化为型或型未定式的极限。 习题9（8）： 4、对于 ∞－∞ 型未定式，经过通分或分子有理化，即可化为型未定式的极限。 习题9（9）： 5、对于1∞、00、∞0等型的未定式，两边取对数或由对数恒等式（化为以e为底的指数函数的极限，再利用指数函数的连续性化为求指数部分的极限）化为0·∞及∞－∞型，再化为型或型，求出关于函数对数的极限，再还原回去。 习题9（10）（12）（13）： 习题10（2）： 6、洛必达法则在综合题中的应用： 习题13： 习题9--13 §4.3 函数的增减性 第一章给出了函数在某个区间内单调增减性的定义，现在介绍利用函数的导数判定函数单调增减性的方法。 定理：设函数f (x)在区间（a，b）上可导，那么 （1）如果x ∈（a，b）时恒有＞0，则f (x)在（a，b）内单调增加； （2）如果x ∈（a，b）时恒有＜0，则f (x)在（a，b）内单调减少。 注意：如果在区间（a，b）内≥0（或≤0），但等号只在有限个点处成立，则f (x)在（a，b）内仍是单调增加（或单调减少）的。 1、求函数的增减区间，首先找到y′ = 0的点以及y′ 不存在的点，然后这些点将定义域划分为若干个区间，再判断y′ 在每一个区间的符号，若y′＞0，函数单调递增，若y′＜0，函数单调递减。 习题14（5）（6）： x (﹣