第四章 中值理及导数的应用wpp.ppt

江西财经大学信息管理学院 §4.1 微分中值定理 §4.2 洛必达法则 说明 1）导数不存在的点也可能是函数的极值点. 若 ，称点 为函数 的驻点. 2）极值点只可能在驻点或导数不存在的点取到。 x y o 定理2 (极值存在的第一充分条件) 当 时, 当 时, (1) 若 则 在 处取得极大值. 当 时, (2) 若 当 时, 则 在 处取得极小值. (3) 若 在 的邻近两侧不变号,则 在 处没有极值. 在 点连续，在 的某一邻域内可导（ 可除外） 设函数 x y (二)求函数极值的方法和步骤: (1) 确定 (2) 求使 的点(驻点),及使 不存在的点; 例1 求函数 的极值. 解 得 列表: 极大值 极小值 增 减 增 极大值为: 极小值为: (3) 列表考察这些点左右区间上 的符号，利用定理3 判别所找点是否极值点,并判别极大(小)值. 解 列表: 定理 3 （第二充分条件） 设函数 处具有二阶导数 ,且 在点 则 当 时, 为极大值; 当 时, 为极小值. 例4 求函数 的极值. 解 令 ,得 所以有极小值: 定理3失效,用定理2判断. 当 时, 时, 不是极值点 当 时, 时, 不是极值点 注意： (三)最值的求法 若函数 在 上连续， 上取得最大值和最小值. 则必在 x y o 求最值的方法: 2 若函数 在 内取得最值，则此点一定取得极值 1 求出最值点的存在范畴：端点、驻点、导数不存在的点 2 计算函数 在这些点处的函数值; 3 比较这些函数值的大小,其中最大者与最小者就是函数 在区间 上的最大值和最小值. x0 1 函数 可能在端点取得最值。 说明 几种特殊情况: 1 若 在 上单调, 则在端点处取得最值. 2 若 在 内只有一个极值点 则当 为极大 (小)值点时, 就是最大(小)值. 注意: 1 在实际问题中, 则按实际情况进行判断. 2 当表示该实际问题的函数 在所讨论的区间内只有 一个可能的极值点时,则该实际问题一定在该点取得所 求的最大值或最小值. 例3 某商店每年销售某种商品 a 件，每次购进的手续费为 b 元， 而每件商品每年库存费为 c 元。在该商品均匀销售的情况下，问 商店应分几批购进此种商品，能使所需手续费及库存费之和最小？ 解 设每批购进 x 件商品，所需总费用为 y 元。则 得 即批数为 时，费用最小。 §4.4 函数曲线的凹向及拐点 定义1 上凹 x y o 下凹 x o y 问题：如何确定曲线的凹向呢？ 我们得到：曲线的凹向与一阶导数的单调性相关， 从而可以用二阶导数的符号判别. 定理1 设函数 在 上连续,在 内具有二阶导数, (1)若在 内 ，则 在 上图形是 上凹 下凹 (2)若在 内 ，则 在 上图形是 推论 解 不存在. 例2 求曲线 的拐点. 时, 时, 曲线 在 内是上凹的. 时, 曲线 在 内时是下凹的. 问题：如何求曲线的凹向区间呢？ 是拐点 判断曲线 y=lnx 的凹向性？ 如果当 时, 两个函数 f(x) 与 g(x)都趋于零或 都趋于无穷大, 为未定式.. 通常称极限 则有 2) 对 时的情形, 也有结论 型 1）如果 当 时仍属 型， 且 f(x) 及 g(x) 能满足定理中 相应的条件， 当 满足相似条件时, 说明 例1 例2 解 解 不是未定式, 不能盲目应用罗比塔法则 注意 例3 求 解 例4 求 解 例7 求 解 答 定理2 设 （1）当 时, 函数 f(x) 及 g(x) 都趋于无穷大 ; (2) 在点a 的某去心邻域内, 都存在且 (3) 存在 (或无穷大); 则有 说明 其它未定式: 例9 解 例10 解 也可化为 或 型 的未定式来计算 例12 解 例11 解 §4.3 用导数研究函数的单调性、 极值、和最值 一、函数单调性的判别 证 应用拉格朗日中值定理 仅证(1). 设 注意： x y o 不存在, 确定函数单调区间的方法和步骤: (1) 确定函数 的定义域; (2) 求 找使 的点(驻点),及使 不存在的点; (3) 以(2)中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间, 判断在每一区间上导数的符号，由定理得出结论。 问题：如何求函数的单调区间？ 解 (1) 定义域 例2 确定函数 的单调区间. 令 , 得 (2) (3) 以 为分界点,将定义域分割,列表: 增 减 增 函数 的单增区间为: 单减区间为: 解 (1) 定义域 例3 确定函数 的单调区间. (2) 令 , 得 当 时, 不存在, (3) 列表: 增 减 增