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第三章 中值定理与导数的应用 教学目的： 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。 会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。 知道方程近似解的二分法及切线性。 教学重点： 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理； 2、函数的极值 ，判断函数的单调性和求函数极值的方法； 3、函数图形的凹凸性； 4、洛必达法则。 教学难点： 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用； 2、极值的判断方法； 3、图形的凹凸性及函数的图形描绘； 4、洛必达法则的灵活运用。 第一节 中值定理 罗尔定理（Rollo法1652—1719 ） 定理 ①在上连续 ②在内可导 ③ 则至少 注： ①在上连续 连续曲线，且在端点左、右连续。 ②在内可导 曲线光滑且曲线上每一点有不垂直于轴的切线 ③ 则至少 弧上至少存在一点切线的斜率为0，即切线平行于轴 2. 几何意义 如果连续光滑曲线在两端点处的纵坐标相等，那么曲线上至少有一点的切线平行于轴 例1 ，验证罗尔定理的正确性。 注：确定区间的端点使 ，一般就是方程的根。 例2 不求导数，判断 的导数有几个实根，以及其所在范围。二阶导数有几个实根？ 在上满足Rollo中值定理 至少 3．注：三条件缺一不可，但反之未必成立。P124 拉格朗日中值定理（Lagrange法，1736——1813 ） 定理 ①在上连续 ②在内可导 则至少 注： 则至少 弧上至少存在一点切线平行于割线AB 2. 几何意义 3．重要推论 ①在内， 在内， ②在内， 在内， 例（补充1）(920306)(利用中值定理证明恒等式) 当时，求证： 例1 ，，求的值使Lagrange公式成立 例2 证明不等式 ， 例（补充2）（910406） 证明：当时，求证： 例（补充3）（利用中值定理求极限） 设 求 4．Lagrange定理的其它形式： ① ② 5．Rollo定理与Lagrange定理的关系 6．Lagrange定理的物理意义（补充） ① 在时间内走过的距离 ② 在时间内的平均速度 ③ 在时刻的瞬时速度 ④Lagrange定理的物理意义：在这段时间内，至少有一时刻，在该时刻的瞬时速度=这段时间的平均速度。 柯西定理（Cauchy法1789—1857 ） 定理 ①在上连续 ②在内可导 ③ 则至少 三定理的关系（比较条件、结论、图形） Rollo定理 Lagrange定理 Cauchy定理