第四章中值定理导数的应用.doc

第四章（A） 1、ζ=e1， 2、有两个实根，分别在（1,2）（2,3）内， 3、提示：证明f (x)=0有实根，其中f (x)是连续函数，因此可验证f (x)在某个闭区间上满足零点定理的条件； 证明f (x)=0有唯一的实根，可证f (x)在某区间内是单调的4、略 5、提示：作一个函数f (x)，使，验证f (x)在[0，1]上满足罗尔定理的条件。 6、提示：令,因所以只需证明f(x)在(，)单调增加，即证f′ (x)07、提示用反证法。若f(x)有两个驻点，与f(x)≠0矛盾8、提示：证明该函数是单调函数9、提示：应用中值定理解题是一个难点，首先要注意给出的函数f (x)是否有可导的条件，如果给出的是具体函数，一般初等函数，在其定义区间内总是连续且可微的另外，关键是寻求题中条件与结论之间的衔结点，因此要用推理和演绎相结合，要寻求衔结点，可以用原函数法，例如此题，先将等式中的未知换成x,求一个函数（辅助函数）F（x）,使，通过已知条件，易得，再应用拉格朗日中值定理10、提示：要证明的等式中有多个出现，且形式与中值定的基本形式有差异，可以变形使之成为. 对于F（x）而言，正是罗尔定理的结论因此我们应用所谓“原函数法”，构造辅助函数F（x），使 利用或者一章中求原函数的方法可以找到，然后利用已知条件检查F（x）是否满足罗尔定理的条件11、提示：变形为，作辅助函数，再用拉格朗日中值定理12、略 13、提示：变形为考虑函数，在[0，1]上用柯西中值理14、提示：将原式化为柯西中值定理的基本形式考虑函数在[，b]上用柯西中值定理15、提示：证明C为常数，如果可导，那么首先证明，再找一个点，使 16、提示：上应用拉格朗日中值定理 17、提示：令应用拉格朗日中值定理18、（1）2. （2）， （3）e ， （4）， （5） ， （6）， 提示：解法1：直接用罗彼塔法则； 解法2：先用拉格朗日中值定理，考虑函数[sinx，x]上 , 时，原式=再用罗彼塔法则计算极限较为简单（7）（）aa, （8）0 ， （9） ， （10）1 提示： 再化为型用罗彼塔法则（11）e （12）1 ，提示：为简化计算，先变形再用罗彼塔法则，原式= （13）， （14） 19、（1） （2） （3） （4） （5） 20、（1）提示令时，单调增加即可。 （2）将原不式等式变形：显然当时，，证明可以考虑函数的最小值为21、略 22、（1）极大值y | x =1=1, 极小值 （2）极小值y | x=0=0 ， （3）无极值 （4）极大值y | x=0=4 ， 极小值y | x=-2= 24、（1）最大值y | x=4=142 ，最小值y | x=1=7 （2）最大值y | x=3=11 ， 最小值y | x=2=14 （3）最大值，最小值y | x=-= 4 （4）最大值y | ，最小值y | x=1= （5）最大值y |，最小值y| 25、略 26、 27、 15元 28、250（单位） 0 0（拐点） （拐点） （2） （拐点） （3） 1 （拐点） （拐点） （4） 0 （拐点） 0（拐点） 30、（1）水平渐近线y=0，铅垂渐近线x=1，x=2 （2）斜渐近线， （3）水平渐近线y = 0，渐近线x = -1 （4）斜渐近线y = x-1，y = -x+1 31 略 32 （1）│P│＞2 （2）│P│=2 （3）│P│＜2 （B） 一、选择题 1、D 2、D 3、B 4、C 5、B 6、C 7、C 8、A 9、D 10、D 1、提示：令，先证恒等于一个常数2、提示：，验证F(x)在[,b]满足罗尔定理的条件3、提示：从结论的形式，显然应令，再对在[0，]上应用罗尔定理4、提示：（1）用反证法，若存在一点∈(a，b)，使g (c)=0，则g(x)在(b)内有两个零点分别在(ac)，(b)内，所以g″(x)至少有一个零点与已知g″(x)≠0相矛盾（2）令F(x)=f(x)g′(x)-f′(x)g(x)在[a ,b]上用罗尔定理5、提示：把等式改写成 符合柯西中值的基本形式 6、提示：由拉格朗日中值公式可知 7、提示：零点定理易知f(x)在()内有零点，再证f (x)是单调函数8、本题型和上一题型均为讨论