2019届高考数学大一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式及其应用学案 理 北师大版.doc

§7.4　基本不等式及其应用 最新考纲 考情考向分析 1.了解基本不等式的证明过程． 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 理解基本不等式成立的条件，会利用基本不等式求最值．常与函数、解析几何、不等式相结合考查，加强数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想的应用意识．作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度中档. 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a0，b0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤2 (a，b∈R)． (4)≥2 (a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3．算术平均数与几何平均数 设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x0，y0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大) 知识拓展 不等式的恒成立、能成立、恰成立问题 (1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)A在区间D上恒成立f(x)minA(x∈D)； 若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)B在区间D上恒成立f(x)maxB(x∈D)． (2)能成立问题：若f(x)在区间D上存在最大值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)A成立f(x)maxA(x∈D)； 若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)B成立f(x)minB(x∈D)． (3)恰成立问题：不等式f(x)A恰在区间D上成立f(x)A的解集为D； 不等式f(x)B恰在区间D上成立f(x)B的解集为D. 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝x＋的最小值是2.(　×　) (2)函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4.(　×　) (3)“x0且y0”是“＋≥2”的充要条件．(　×　) (4)若a0，则a3＋的最小值为2.(　×　) (5)不等式a2＋b2≥2ab与≥有相同的成立条件．(　×　) (6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．(　√　) 题组二　教材改编 2．设x0，y0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80 B．77 C．81 D．82 答案　C 解析　∵x0，y0，∴≥， 即xy≤2＝81， 当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81. 3．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2. 答案　25 解析　设矩形的一边为x m， 则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m， ∴y＝x(10－x)≤2＝25， 当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25. 题组三　易错自纠 4．“x0”是“x＋≥2成立”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　C 解析　当x0时，x＋≥2＝2. 因为x，同号，所以若x＋≥2，则x0，0，所以“x0”是“x＋≥2成立”的充要条件，故选C. 5．设x0，则函数y＝x＋－的最小值为(　　) A．0 B. C．1 D. 答案　A 解析　y＝x＋－＝＋－2 ≥2－2＝0，当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立． ∴函数的最小值为0.故选A. 6．若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　D 解析　由3x＋y＝5xy，得＝＋＝5， 所以4x＋3y＝(4x＋3y)· ＝ ≥(4＋9＋2)＝5， 当且仅当＝，即y＝2x时，“＝”成立， 故4x＋3y的最小值为5.故选D. 题型一　利用基本不等式求最值 命题点1　通过配凑法利用基本不等式 典例 (1)已知0x1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________． 答案　 解析　x(4－3x)＝·(3x)(4－3x) ≤·2＝， 当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号． (2)函数y＝(x1)的最小值为________． 答案　2＋2 解析　y＝＝ ＝ ＝(x－1)＋＋2≥2＋2. 当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立． 命题点2　通过常数代换法利用基本不等式 典例 (2017·河北衡水中学调研)若a0，b0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 答案　C 解析　由lg a＋lg b＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝l