核按钮2017高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式及其应用习题 理.doc

§7.4　基本不等式及其应用 1．如果a＞0＞0那么叫做这两个正数的算术平均数．如果a＞0＞0那么叫做这两个正数的几何平均数．重要不等式：a则a＋b (当且仅当＝时取等号)．基本不等式：a＞0＞0则当且仅当＝b时等号成立即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．求最小值：a0当ab为定值时＋b＋b有即a＋b≥＋b简记为：积定和最小．求最大值：a＞0＞0当a＋b为定值时有最大值即亦即；或a＋b为定值时有最大值(a＞0＞0)即简记为：和定积最大．7．拓展：若a＞0＞0时≤ ≤≤ ，当且仅当a＝b时等号成立．自查自纠　2.　3.2ab　4. 5．最小值　2　2ab2　ab≤(a＋b)　ab≤　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 设a且a＋b＝3则2＋2的最小值是(　　) C．2 D．2 解：因为2＞0＞0由基本不等式得2＋2＝＝4当且仅当a＝b＝时取等号故选. ()已知向量m＝(2)，n＝(2－b)(a＞0＞0)．若m∥n则ab的最大值为(　　) B．1 C．2 D．4 解：依题意得2a＝2－b即2a＋b＝2(a＞0＞0)＝＋b≥，∴ab≤，当且仅当2a＝b＝1时取等号的最大值是故选 设f(x)＝＜a＜b若p＝f()＝f＝(f(a)＋f(b))则下列关系式中正确(　　)＝r＜p ．＝r＞p ．＝r＜q ．＝r＞q解：p＝f()＝，q＝f＝，r＝(f(a)＋(b))＝＝，函数f(x)＝在(0＋∞)上单调递增＞＞f()．∴q＞p＝r.故选 ()若实数x满足xy＝1则x＋2y的最小值为________．解：由xy＝1得x＋2y＝x＋，当且仅当x＝时等号成立．故填2 ()已知函数f(x)＝4x＋(x＞00)在x＝3时取得最小值则实数a＝________.解：f(x)＝4x＋＝4(x＞0＞0)当且仅当4x＝即x＝时等号成立＝3＝36.故填36. 类型一　利用基本不等式求最值　(1)函数y＝(x＞－1)的值域为________．解：∵x＞－1＋1＞0令m＝x＋1则m＞0且y＝＝m＋＋5≥2＋5＝9m＝时取等号故y＝9.又当m→＋∞或m→0时＋∞故原函数的值域是[9＋∞)．故填[9＋∞)．(2)()如果函数f(x)＝(m－2)x＋(n－)x＋(m≥0，n≥0)在区间上单调递减那么mn的最大值为(　　)C．25 D. 解：当m＝2时易得n－8＜0＜8此时mn＜16.当m≠2时抛物线的对称轴为x＝－据题意：当＞2时－即2m＋n≤12.∵≤6，∴mn≤18.由2m＝n且2m＋n＝12得m＝3n＝6.当m＜2时抛物线开口向下据题意：－，m＋2n≤18.∵≤9，∴mn≤.由2n＝m且m＋＝得m＝9＞2故应舍去．要使mn取得最大值应有＋＝18(8＜n＜9)．此时mn＝(18－2n)n＜(18－2×8)×8＝16.综合①②可得最大值为18.故选(1)基本不等式的应用在于“定和求积定积求和”必要时可以通过变形(拆补)、配凑常数代换、构造“和”或者“积”使之为定值．(2)本题要讨论抛物线的开口方向和对称轴根据所给单调区间找到m、n满足的条件再利用基本不等式求解．　(1)已知t＞0则函数f(t)＝的最小值为．解：∵t＞0(t)＝＝t＋－4≥－2当且仅当t＝1时(t)min＝－2故填－2.(2)已知x＞0＞0且2x＋8y－xy＝0求：(Ⅰ)xy的最小值；(Ⅱ)x＋y的最小值．解：(Ⅰ)由2x＋8y－xy＝0得＋＝1又x＞0＞0则1＝＋＝得xy≥64当且仅当x＝4y即x＝16＝4时等号成立．(Ⅱ)解法一：由2x＋8y－xy＝0得x＝＞0＞2则x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18当且仅当y－2＝即y＝6＝12时等号成立．由2x＋8y－xy＝0得＋＝1则x＋y＝(x＋y)＝10＋＋＋＝18当且仅当y＝6＝12时等号成立．类型二　利用基本不等式求参数范围　()已知a0若不等式－－恒成立则m的最大值为(　　)解：∵a0由－－恒成立得m≤(3a＋b)＝10＋＋恒成立．∵＋＝6当且仅当a＝b时等号成立故10＋＋即m的最大值为16.故选一般地对含参的不等另外要记住几个常见的有关不等式的等价命题：(1)a＞f(x)＞(x)max；(2)a＜f(x)＜f(x)；(3)a＞f(x)＞f(x)；(4)a＜f(x)＜f(x)　已知函数f(xex＋－x其中是自然对数的底数．若关于x的不等式mf(x)≤－x＋m－1在(0＋∞)上恒成立则实数m的取值范围为________．解：由条件知m(＋－x－1)≤－x－1在(0＋∞)上恒成立．令t＝(x＞0)则t＞1且m≤－＝－对任意t＞1成立．－1＋＋1≥2＋1＝3－－当且仅当t＝2即x＝时等号成立．故实数m的取值范围是故填类型三　利用基本不等式解决实际问题　()某小区