2019届高考数学大一轮复习 第七章 不等式 7.2 一元二次不等式及其解法学案 理 北师大版.doc

§7.2　一元二次不等式及其解法 最新考纲 考情考向分析 1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型． 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． 3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图. 以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．本节内容在高考中常以选择题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高. 1．“三个二次”的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ0 Δ＝0 Δ0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a0)的图像 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根 有两相异实根x1，x2(x1x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 一元二次不等式ax2＋bx＋c0 (a0)的解集 {x|xx1或xx2} {x|x∈R} 一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a0)的解集 {x|x1 xx2} ? ? 2.常用结论 (x－a)(x－b)0或(x－a)(x－b)0型不等式的解法 不等式 解集 ab a＝b ab (x－a)·(x－b)0 {x|xa或xb} {x|x≠a} {x|xb或xa} (x－a)·(x－b)0 {x|axb} ? {x|bxa} 口诀：大于取两边，小于取中间． 知识拓展 (1)0(0)f(x)·g(x)0(0)． (2)≥0(≤0)f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若不等式ax2＋bx＋c0的解集为(x1，x2)，则必有a0.(　√　) (2)若不等式ax2＋bx＋c0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　√　) (3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c0的解集为R.(　×　) (4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a0且Δ＝b2－4ac≤0.(　×　) (5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像开口向下，则不等式ax2＋bx＋c0的解集一定不是空集．(　√　) 题组二　教材改编 2．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝，那么集合A∩(UB)等于(　　) A．[－2,4) B．(－1,3] C．[－2，－1] D．[－1,3] 答案　D 解析　因为A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x－1或x≥4}， 故UB＝{x|－1≤x4}，所以A∩(UB)＝{x|－1≤x≤3}，故选D. 3．y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是________________． 答案　∪ 解析　由题意，得3x2－2x－20， 令3x2－2x－2＝0，得x1＝，x2＝， ∴3x2－2x－20的解集为 ∪. 题组三　易错自纠 4．不等式－x2－3x＋40的解集为________．(用区间表示) 答案　(－4,1) 解析　由－x2－3x＋40可知，(x＋4)(x－1)0， 得－4x1. 5．若关于x的不等式ax2＋bx＋20的解集是，则a＋b＝________. 答案　－14 解析　∵x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根， ∴解得 ∴a＋b＝－14. 6．已知关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集为空集，则实数a的取值范围为____________． 答案　 解析　当a2－4＝0时，a＝±2.若a＝－2，不等式可化为－1≥0，显然无解，满足题意；若a＝2，不等式的解集不是空集，所以不满足题意；当a≠±2时，要使不等式的解集为空集，则解得－2a. 综上，实数a的取值范围为. 题型一　一元二次不等式的求解 命题点1　不含参的不等式 典例 求不等式－2x2＋x＋30的解集． 解　化－2x2＋x＋30为2x2－x－30， 解方程2x2－x－3＝0，得x1＝－1，x2＝， ∴不等式2x2－x－30的解集为(－∞，－1)∪， 即原不等式的解集为(－∞，－1)∪. 命题点2　含参不等式 典例 解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)． 解　原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0. ①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1. ②当a0时，原不等式化为(x＋1)≥0， 解得x≥或x≤－1. ③当a0时，原不等式化为(x＋1)≤0. 当－1，即a－2时，解得－1≤x≤； 当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意； 当－1，即－2a0时，解得≤x≤－1. 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x