二、矩阵的初等变换-湖南省高等学校精品课程网.ppt

上页 返回 下页 （一） 操 作 方 法 第三章 矩阵的初等变换和线性方程组 4.选学内容：初等矩阵 本章内容简介 1.用消元法解方程组引入矩阵的初等变换； 2.介绍矩阵秩的概念及其性质； 3.利用矩阵的秩讨论线性方程组无解、有惟一 解或无穷多解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法； 第一节 矩阵的初等变换 一、消元法解线性方程组 引例：解线性方程组 消元法解方程组的过程． 求解 过程 解上方程组的方法称为消元法． 1．在消元过程中，用到如下三种变换 （1）交换方程次序； （2）以不等于０的数乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的k倍． （　与　相互替换） （以　　　替换　） （以　　　　替换　） 2．上述三种变换都是可逆的． 　 变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换也称为同解变换． 　　在上述变换过程中，只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算． 若记 则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组（1）的增广矩阵）的变换． 定义3.1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 二、矩阵的初等变换 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换． 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同． 同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)． 逆变换 逆变换 逆变换 等价关系的性质： 例如，两个线性方程组同解， 就称这两个线性方程组等价 下面用引例中方程组的增广矩阵的初等行变换来 求解此方程组 其增广矩阵为 求解 过程 初等变换后有其矩阵 如下 行阶梯形矩阵特点： （1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零； （2）、每个台阶 只有一行， 台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元． 注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的． 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形． 标准形矩阵的特点： 例如： 例如：解线性方程组 解 于是解得 返回 上页 返回 下页