1_2矩阵的初等变换.doc

1.2 矩阵的初等变换 从消元法解线性方程组的过程中可看到，在对方程组作初等变换时，只是对方程组的系数和常数项进行运算，而未知量并没有参加运算，也就是说，线性方程组的解仅仅依赖于方程组中未知量的系数与常数项．因此，在用消元法解线性方程组时，为了书写简便起见，可以只写出方程组的系数和常数项．通常把方程组(I)的系数和常数项写成下列表格的形式 表中的第i行代表方程组(I)的第i个方程，第j列表示xj的系数，最后一列表示常数项．这个表称为线性方程组(I)的增广矩阵．去掉最后一列，得到另一个表 它称为线性方程组的系数矩阵． 定义1 由数域P中m×n个数aij(i=1，2，…，m j=1，2，…，n)m行n列的长方形表 称为数域P上的一个m×n矩阵．aij称为矩阵的元素，m×n矩阵记为Amn或Am×n，有时还记作A=(aij) m×n． 1、矩阵的初等变换 已知用消元法解线性方程组就是对方程组反复地施行初等变换，反映在矩阵上，就是 1) 交换矩阵的某两行的位置； 2) 用一个非零的数去乘矩阵的某一行； 3) 用一个数乘某一行后加到另一行上． 这三种变换称为矩阵的初等行变换．类似地，有 1’) 交换矩阵的某两列的位置； 2’) 用一个非零的数去乘矩阵的某一列； 3’) 用一个数乘某一列后加到另一列上． 1’) ，2’) ，3’)称为矩阵的初等列变换．矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换统称为矩阵的初等变换． 利用方程组的初等变换把线性方程组化为阶梯形方程组，相当于用矩阵的初等行变换至多利用第一种列变换，把方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵． 例2 求解线性方程组 对它的增广矩阵作初等行变换 →→ 最后一个矩阵就是一个阶梯形矩阵．对这个阶梯形矩阵，还可进一步化简．把第二行乘1加到第一行上，第三行乘1加到第一行上，第三行乘2加到第二行上，得 它所表示的方程组为 这样，就得到方程组的一般解： 其中x4为自由未知量． 2、矩阵的等价 定义2 若对矩阵实行有限次初等变换变成矩阵，则称矩阵与等价，记作. 类似于无穷小的等价概念，我们称A与B为等价是因为它确实是一种等价关系，它具有： ① 自反性 ——— A~A； （取k = 1，作乘数初等变换即可） ② 对称性 ——— A~B ( B~A； （初等变换都是可逆的） ③ 传递性 ——— A~B，B~C ( A~C . （将两次的初等变换合并到一起对A作即可） 3、行阶梯形矩阵,行最简形矩阵和矩阵的标准形 定义3 满足下列两个条件的矩阵称为行阶梯形矩阵： （1） （1）的矩阵称为标准形矩阵. 注 ① 任一矩阵都可以经初等变换化为行阶梯形，行最简形或标准形. ② 任一个矩阵都有标准形，且标准形是唯一的，它由行阶梯形的非零行的行数确定. ③ 矩阵(与具有相同的标准形. ④ 所有与A等价的矩阵组成的集合称为是一个等价类，A的标准形F就是这个集合里最简单的那个矩阵，可视为是这个等价类的代表元. 例3 求解线性方程组 . 解： . 注① 是一个行最简形阵。用方程组的语言来说这个特征：只有一个元素是1，其余元素均为0的列恰为非自由未知量所对应的列。它对应的同解方程组是 ( ——这个结果正是将回代入对应的方程组时所求得的解，即对应的方程组就是回代结果，即取为自由变量，并令，即得 x =，其中c为任意常数。 这表明得到行最简形阵就等于得到了方程组的解。也就是说：解一个线性方程组，只需将它对应的增广矩阵B经初等行变换变成其行最简形即可得到方程组的解。 有无自由未知量决定于非零行的阶宽，对一个阶宽就多一个自由未知量。不看最后的常数列时，阶加宽一列，其阶数就少一层，故：自由未知量的个数 = 未知量个数 - 非零行行数 ＝！！！ ③ 由于方程组与其增广矩阵是一一对应的，故自然地：任何一个矩阵的行最简形式是唯一的，从而行阶梯形中非零行的行数也必唯一，从而自由未知量的个数也必唯一。 例3 把下列矩阵化为行最简形矩阵 (1)　； (2)　； 解：(1) (2) 思考题： 当a与b取什么值时，线性方程组 有解？在有解的情况下，求它的一般（通）解．