矩阵的初等变换与矩阵的秩.ppt

化为行最简型.并求秩 练习: 1.设 2.设 答案 1. 初等变换 初等矩阵 初等逆变换 初等逆矩阵 例6 计算 定理2.8 证明 具体验证即可 另两种情形同理可证 一般记法： 定理2.9 n 阶矩阵可逆的充要条件是 A 可以表示成初等 矩阵的乘积. 证明 充分性是显然的，下面证明必要性. 若A可逆，则存在一系列的初等矩阵 ，使得 因为初等矩阵可逆，且逆矩阵也是初等矩阵，从而 推论 如果对可逆矩阵 A 和同阶单位矩阵 E 作同样的初等 行变换，那么当A 变成单位矩阵E 时，E 就变成 。 初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，定理得证。 即， 等号两边右乘 即， 若A可逆，则存在一系列的初等矩阵 ，使得 (2)初等变换求逆矩阵 由推论，利用初等行变换求可逆矩阵A的逆矩阵 例8 已知 ，求逆矩阵 解 注意7 若作初等行变换时,出现全行为0，则矩阵的行列式等于0。结论：矩阵不可逆! 求逆时,若用初等行变换必须坚持始终,不能夹杂任何列 变换. 注意6 即 初等行变换 注意8 利用初等行变换求逆矩阵的方法还可用于求矩阵 例9 解 方法1：先求出 ,再计算 。 方法 2： 直接求 。 初等行变换 若 列变换 列变换 又， 解 例10 * * §2.4 矩阵的初等变换与矩阵的秩 主要内容 3.初等变换求逆矩阵 1.矩阵的初等变换 2.矩阵的秩 矩阵的初等变换是矩阵分析的重要工具，在 线性代数中有十分广泛的应用，所以必须熟练掌 握矩阵初等变换的方法。 1. 矩阵的初等变换 一. 矩阵的初等变换 定义2.14 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 同理可定义矩阵的初等列变换 (把“r”换成“c”)． 矩阵的初等变换包括 通常称变换为 (1) 对换变换 (2) 倍乘变换 (3) 倍加变换 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同． 逆变换 逆变换 逆变换 等价关系的性质： 具有上述三条性质的关系称为等价． 例如，两个线性方程组同解， 就称这两个线性方程组等价 定义 例1 其特点： （1）可划出一条阶梯线，线的下方全为零； （2）每个台阶只有一行， 台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元． . 5 4 都称为行阶梯形矩阵 和 矩阵 B B 行阶梯形矩阵B5还称为行最简型阶梯矩阵，即非零行的第一个元素是1，且这些非零元素所在列的其它元素都为零． 对任何非零矩阵A总可以经过有限次的初等行变换化为行阶梯矩阵与行最简型阶梯矩阵． 注意1：行最简型矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的． 注意2：任意可逆矩阵也可以经过有限次的初等行变换化为单位矩阵. 解 例2 将 化为单位矩阵. 例2 将 化为单位矩阵. 注意 3 行最简形阶梯矩阵再经过初等列变换，可化成 标准形矩阵． 定义2.17 若一个矩阵具有如下特征： （1）位于左上角的子块是一个 r 阶的单位矩阵； （2）其余的子块都是零矩阵； 则称为标准形矩阵． 定理2.6 任意非零矩阵都可经过初等变换化为标准形矩阵. 例如， 注意 4 行最简形阶梯矩阵是唯一的， 注意 5 有时仅用初等行变换或初等列变换不一定能将矩阵化为标准形矩阵． 二.矩阵秩的概念 梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的.它反映了矩阵的一个本质特征 ——— 矩阵的秩. 任何矩阵总可经过有限次初等行变换把它变为行阶 定义2.18 . , , 2 阶子式 的 称为矩阵 阶行列式， 的 中所处的位置次序而得 变它们在 不改 元素 处的个 ），位于这些行列交叉 列（ 行 中任取 矩阵 在 k A k A k n k m k k k A n m ￡ ￡ 则 都是A的全部4个3阶子式. . . ) ( 0 1 0 2.19 等于零 并规定零矩阵的秩 的秩，记作 称为矩阵 的最高阶非零子式，数 称为矩阵 ，那末 于 ）全等 阶子式（如果存在的话 ，且所有 式 阶子 的 中有一个不等于 设在矩阵 定义 A R A r A D r D k A + 例3 解 例4 解 问题：经过变换的矩阵秩变吗？ 推论 等行变换将其变为行阶梯形矩阵 总可以经过有限次初 因为对于任何矩阵 定理2.7 矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩. 矩阵的初等列变换不改变矩阵的秩. 证 ). ( ) (