2015-2015第一学期高等数学期中考试.doc

2011—2012学年第一学期 《高等数学(2-1)》期中试卷 专业班级 姓 名 学 号 开课系室 基础数学系 题 号 一 二 三 四 五 六 总分 得 分 阅卷人 考试日期 2011年11月20日 注意事项 1.请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸； 2.答题时请注意书写清楚，保持卷面整洁； 3.本试卷共五道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废； 4.本试卷正文共6页 本页满分30分 本页得分 一、填空题（每空3分，共计18分） 1．设存在，则 . 2. 设曲线方程为，则 . 3. 试用” ”语言叙述的定义 . 4.设，则 . 5. 设, 则= . 6. 若存在，且，则 . 二、选择题（每小题3分，共计12分) 1. 函数( ) (A) 在内无界 (B) 在内有界 (C) 当时为无穷大 (D) 当时有有限的极限值 2. 设时，与为同阶无穷小，则为( ) (A)1； (B) 2； (C) 3； (D)4. 3. 设在的某邻域内连续，且，则在( ) (A) 不可导 (B) 可导且(C) 取极大值 (D) 取极小值 4. 曲线的渐近线有( ) (A) 一条 (B) 二条 (C) 三条 (D) 四条 本页满分14分 本页得分 三、计算题（每题7分，共计35分） 1. 求. 2. 求 本页满分14分 本页得分 3. 求 　　　　 4. 设方程确定二阶可导函数，求. 本页满分15分 本页得分 5. 写出函数在处带有拉格 朗日余项的阶泰勒展开式(). 四、解答题（每题8分，共计24分） 1. 求函数的极值、凹凸区间及拐点坐标. 设函数， 本页满分16分 本页得分 问为何值时，在点连续；为何值时，是的可去间断点. 3. 一飞机在离地面2km的高度，以200km/h速度水平飞行到某目标上空，以便进行航空摄影，试求飞机飞至该目标正上方时，摄影机转动的角速度. 本页满分11分 本页得分 五、证明题: 1. （本小题5分）设函数在上二阶可导， 且.证明：至少存在一点， 使得成立. 2. （本小题6分） 证明：当时，. 答案 一、1、； 2、；3. 略 ； 4、-720 ； 5、； 6、1 二、1、A 2、C 3、D 4、B 三、1. 解： 原式==== 2、解：令，则. 原式==== 3、解: 原式== 其中在点的泰勒公式为：. 代入化简 =.因此，原式== 4、解：将原方程整理变形得：. 等式两边对求导，得：，即：. 5、解：，，， ，， ，，， 因此 其中：，(在与之间)。 四、1、解： . . 令，则有，解得：或. 当时，，在点连续. 当时，，为的可去间断点. 2. 解：. 令 ,令 0 2 + 0 + + + 0 - - - + + + 0 + - - 0 + 单减， 凹 0 极小值 单增， 凹 拐点 单增 凸 极大值 单减 凸 拐点 单减 凹 3、 解：设飞机与目标水平距离为(km)，则； 两边对求导： 当飞机飞至目标正上方时，此时 . 五、1、证明：将所证等式变形得到： 即证：. 令.在上满足罗尔定理的条件， 故存在，使得. 另由，得 .所以在上满足罗尔定理的条件，故存在，使得.即：. 2、证明：令，则有. ，. ，.，从而 因，得.因，得. 因，当时，，即：.