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函数的极限知识点总结及练习题 　　函数的极限﹐这是微积分学中的核心概念之一。透过函数的极限﹐可以定义连续函数（即直接观察图形没有断点的函数）。最后介绍连续函数的中间值定理。我们熟悉的勘根定理﹐就是中间值定理的应用。 ※函数的极限 对于函数 y＝f（x）﹐若能找到一个实数 L 使得： “当 x 趋近于实数 a 时﹐f（x）也会趋近于 L”﹐ 则我们称函数 f（x）在 x＝a 时的极限是 L﹐记为 f（x）＝L 。 善用直观与配合函数图形﹐可以求得一些极限。 举例：当 x 趋近 3 时，函数 f（x）＝x＋2 会趋近 5 例题1 计算下列各极限：(1)sin x。　　　　　　　　　(2)。 (1)当 x 趋近 EQ \F(π,2) 时﹐sin x 的函数值会趋近于 1﹐故 sin x＝1。? (2)当 x 趋近于 0 时﹐|x|的函数值 会趋近于 0﹐故 |x|=0。? 　　　　 随堂练习 计算下列各极限：(1)x2。　　　　　(2)x3。　　　　　(3)4。 ※概念厘清 所谓“ x 趋近于 a ”是“ x 愈来愈靠近 a ”﹐而不是“ x＝a ”。 图所代表的函数中﹐g（x）在 x＝a 没有定义﹐h（x）在 x＝a 有定义﹐但值不是 L。然而﹐这三个函数在 x＝a 的极限却都是 L。亦即﹐在求f（x）在 x＝a 的极限 f（x）时﹐并不需要考虑 f（a）的值。 并不是每一个函数在 x＝a 都有极限。 极限值f（x）不存在 极限值f（x）不存在 　　　　　　 (1)当 x 趋近 a 时﹐x 由左侧或右侧靠近时﹐f（x）趋近的值并不相同 (2)当 x 趋近于 a 时﹐f（x）值趋近无限大﹐这样也称 f（x）不存在。 例题2 函数 f（x）如图求：(1)f（x）。　　(2)f（x）。　　(3)f（x）。　　(4)f（x）。 (1)(2)不存在 (3)2 (4)1随堂练习 承例题 2﹐试求： (1)f（x）。 (2)f（x）。 (3)f（x）。 (4)f（x）。 ※极限存在的条件：观察左极限与右极限 f（x）在 x＝a 有极限 L ? f（x）在 x＝a 的左极限等于右极限﹐ 亦即 f（x）＝L ? f（x）＝L 且 f（x）＝L “ x 从左边趋近 a 时﹐f（x）趋近的值”称为“ f（x）在 x＝a 的左极限”﹐记为 f（x） “ x 从右边趋近 a 时﹐f（x）趋近的值”称为“ f（x）在 x＝a 的右极限”﹐记为 f（x） 例题3 利用左极限及右极限说明 不存在。 当 x 由左侧趋近 0 时，x＜0，故?|x|＝－x，此时 ＝＝（－1）＝－1。当 x 由右侧趋近 0 时，x＞0，故?|x|＝x，此时 ＝＝ 1＝1。因左极限不等于右极限，故 不存在。 随堂练习 说明 ?不存在。 ※函数极限的运算性质 若函数 f（x）与 g（x）在 x＝a 时极限存在且 f（x）＝L， g（x）＝M，则下列极限存在： (1) （ f（x）±g（x））＝L±M。 (2) （cf（x））＝cL，c 为常数。 (3) （ f（x）?g（x））＝L?M。 (4) 若 M≠0，则 ＝。 (5) 若 L＞0，则 ＝。 ※多项式与有理函数的极限 若 f（x），g（x）为多项式，则： (1) f（x）＝ f（a）。 (2) ＝（g（a）≠0）。 例题4 计算下列各极限：(1) （（x＋1）（x＋2）（x＋3））。 (2) 。 (1) 6 (2) 19/5。 随堂练习 计算下列各极限：(1) （（x2＋x＋2）（x－1））。 (2) 。 例题5 计算下列各极限：(1) 。 (2) 。 (1)4 (2)1/4 随堂练习 计算下列各极限：(1) 。 (2) 。 例题6 已知 存在。试求实数 a 及此极限的值。 观察 x＝1 代入分母为 0。但此极限存在，表示分子必有（x－1）可与之约掉。 故 x＝1 代入分子也为 0，即1＋a＋4＝0，得 a＝－5。 原式化为 ＝＝（x－4）＝－3。 随堂练习 已知 存在，试求实数 a 及此极限的值。 ※连续函数 直观上来看，连续函数就是“图形没有断掉”。例如：一次函数，二次函数，指数函数，对数函数，正弦函数，余弦函数等。藉由极限的观念我们可以精确地定义连续函数。 　　　　　　 函数在 x＝a 是连续　　函数在 x＝a 是不连续　　函数在 x＝a 不是连续 结论：表示不论 x 由左边或