高中数学函数的概念知识点总结及练习题（含答案）.doc

高中数学函数的概念知识点总结及练习题（含答案） ※函数的定义 设 f 是集合 A﹐B 中元素之间的一个对应关系。若对于集合 A 中的每个元素 a﹐都可以找到集合 B 中的唯一元素 b﹐使得 a 对应到 b ﹐则称 f 为 A 到 B 的一个函数。用 f：A → B 表示此函数。而 a 对应到 b 记为 f（a）＝b﹐b 称为函数 f 在 a 的值。 集合 A 称为 f 的定义域﹐集合 B 称为 f 的对应域 高中数学中常见的函数﹐例如多项式函数﹑指数函数﹑对数函数﹑三角函数等﹐因为函数值都是实数﹐故对应域皆可定为实数集合 R﹐通称为实数值函数。 一般而言﹐实数值函数的定义域指的是﹐会使函数作用有意义的最大可能集合。 ※根式函数y＝ EQ \r(x) 此函数是由非负实数所成的集合﹐到实数集合 R 的一个对应关系 每一个非负实数﹐都有唯一的非负平方根。 函数的定义域：{x|x?﹐且 x0} 函数的对应域：实数集合 R 函数的值域：{y|y?﹐且 y0} 例题1 试求下列各函数的定义域： (1)f（x）＝ EQ \F(1,x)　　　　 (2)f（x）＝ EQ \r(3－x) (3)f（x）＝ EQ \F(1,x2－x＋1) (1)定义域为{x|x?﹐且 x0}。 (2)定义域为{x|x?﹐且 x3}。 (3)分母须有 x2－x＋10﹐但 x2－x＋1＝ EQ \b\bc\((\a\hs5\vs5(x－ EQ \F(1,2) ))2＋ EQ \F(3,4) ＞0 恒成立﹐故定义域为 R。 随堂练习 试求下列各函数的定义域： (1)f（x）＝ EQ \F(1,x2－4) 　　　(2)f（x）＝ EQ \F(1,x2＋x＋1) (3)f（x）＝ EQ \r(x－2) ※区间的符号 设 a﹐b 为实数﹐且 a＜b。我们将集合 {x|a ≤ x ≤ b}?记为 [ a，b ]（又称为闭区间）。 {x|a ≤ x＜b}?记为 [ a，b）。 {x|a＜x ≤ b}?记为（a，b ]。 {x|a＜x＜b}?记为（a，b）（又称为开区间）。 另外，当 a 是实数时，我们将集合 {x|x ≥ a}?记为 [ a，∞）。 {x|x＞a}?记为（a，∞）。 {x|x ≤ a}?记为（－∞，a ]。 {x|x＜a}?记为（－∞，a）。 实数 R 记为（－∞，∞） 例：在（2，5 ]中，5 是区间的端点，但 2 不是端点，介于 2、5 之间的点都称为内点。 例：函数 y＝csc x 的值域可记为（－∞，－1 ]∪[ 1，∞），其中的∪就是联集。  函数的四则运算 设 f（x）﹐g（x）都是实数值函数﹐透过四则运算形成新函数﹐定义如下： (1)（f＋g）（x）＝f（x）＋g（x）﹐定义域为 f（x）与 g（x）之定义域的共同范围。 (2)（f－g）（x）＝f（x）－g（x）﹐定义域为 f（x）与 g（x）之定义域的共同范围。 (3)（f g）（x）＝f（x）g（x）﹐定义域为 f（x）与 g（x）之定义域的共同范围。 (4)（ EQ \F(f,g) ）（x）＝ EQ \F(f（x）,g（x）)﹐定义域为 f（x）与 g（x）之定义域的共同范围﹐ 且 g（x）0。 例题2 已知f（x）＝，g（x）＝x2－3x﹐试求：并分别求出定义域。 (1)（f＋g）（x）。 (2)（f－g）（x）。 (3)（fg）（x）。 (4)（x）。 解?f（x）的定义域为{x|，x≠0}， g（x）的定义域为 。 以下的四则运算，必须在两函数都有定义之处，才能进行。 (1)（f ＋g）（x）＝＋x2－3x＝，x≠0。 (2)（f －g）（x）＝－（x2－3x）＝，x≠0。 (3)（f g）（x）＝（x2－3x）＝（x－1）（x－3）＝x2－4x＋3，x≠0。 (4)因 g（x）在分母，故 x2－3x≠0 → x≠3，0， （x）＝＝，x≠3，0。 随堂练习 已知?f（x）＝x2－1﹐g（x）＝﹐试求：并分别求出定义域。 (1)（f ＋g）（x）。 (2)（f －g）（x）。 (3)（fg）（x）。 (4)（x）。 ※合成函数 设函数 f：A → B 与函数 g：B → C。则 g 与 f 的合成函数 g ? f 是一个定义域为 A﹑对应域为 C 的函数﹐以 g ? f：A → C 表示。对于 xA﹐函数值的定义为 （g ? f ）（x）＝g（f（x））。