高中数学复数知识点总结及练习题.doc

高中数学复数知识点总结及练习题 　　本节介绍复数平面，将一个复数视为平面上的一点，使我们能“看到”复数。接着藉由极坐标的概念介绍复数的极式，并说明极式如何应用在复数的乘除运算。最后介绍如何将一个复数开 n 次方根。 复数平面 一般而言，复数 z＝a＋bi 可对应到坐标平面上的点（a，b）；反之，坐标平面上的点（a，b）可和复数 z＝a＋bi 对应。按此方式，我们可以把每个复数都看成平面上的一个点；这个用来表示所有复数的坐标平面，称为复数平面或高斯平面。 　　注意在复数平面上，x 轴上的点代表的复数其虚部为 0，故为实数。而y 轴上的点（原点除外）所代表的复数其实部为 0，故为纯虚数。因此，x 轴又称为实轴，y 轴又称为虚轴。 例题1 (1) 如图复数平面，试写出 A，B，C，D 所代表的复数。 (2) 试在复数平面上描绘出下列各复数： ① z1＝－3＋4i。 ② z2＝－5－2i。 ③ z3＝－2i。 ④ z4＝。 解　(1) A 的坐标为（2，5），故 A 点代表复数 2＋5i。 同理，B 点代表复数 2i， C 点代表复数－4， D 点代表复数 3－4i。 (2) z1＝－3＋4i 描在复数平面上的坐标为（－3，4）。 同理，z2，z3，z4 描绘在复数平面上的坐标分别为 （－5，－2），（0，－2），（，0） 随堂练习 (1) 如图复数平面，试写出 A，B，C，D 所代表的复数。 (2) 试在复数平面上描绘出下列各复数： ① z＝1－i。 ② z2＝＋i。 ③ z3＝i。 ④ z4＝－1。 复数加减法与系数积的几何意义 (1) 加法：z1＝a＋bi，z2＝c＋di，则 z1＋z2＝（a＋c）＋（b＋d）i。 (2) 减法：z1＝a＋bi，z2＝c＋di，则 z1－z2＝（a－c）＋（b－d）i。 　　 系数积：z＝a＋bi，则 rz＝ra＋rbi。 (4) 共轭复数：z＝a＋bi，则＝a－bi。 　　 复数的绝对值 　　对于复数 z＝a＋bi，定义其绝对值如下︰ ※复数的绝对值 定义复数 z＝a＋bi 的绝对值为 |z|＝， 即标在复数平面上时与原点的距离。 例题2 若 z＝3＋5i，试求|z|和。 解　|z|＝， 　　而＝3－5i， 　　故。 随堂练习 若 z1＝1＋2i，z2＝3＋4i，试求|z1|，|z2|，|z1＋z2|及|z1|＋|z2|，并比较 |z1|＋|z2|和|z1＋z2|何者较大？ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 三角不等式 由绝对值的定义及复数的几何意义马上可以得到以下结论，其中 z，z1，z2 皆为复数。 (1) |z1＋z2| ≤ |z1|＋|z2|。 (三角形两边和大于第三边) (2) ||z1|－|z2|| ≤ |z1－z2|。 (角形两边差小于第三边) (3) 。  ※复数的极式 复数 z＝a＋bi 的极式为z＝r（cos θ＋i sin θ）， 其中 r＝|z|＝称为 z 的向径， 且 θ 满足 cos θ＝，sin θ＝，称为 z 的辐角。 r 称为 z 的向径（又称为模） θ 称为 z 的辐角。取 0 ≤ θ＜2π，则称为主辐角 通常把 z 写为极式时，取 θ 为主辐角。规定复数 0 的极式为 0，其向径为 0，辐角为任意实数。 　　 例题3 将下列复数化为极式： (1) 1＋i。 (2)－3i。 (3) 3＋2i。 解　(1) 如图 48，因为|1＋i|＝ ＝2， 所以。 (2)因为， 所以。 (3) 如图 50，由 |3＋2i|＝，故（cos θ＋i sin θ）， 其中 θ 满足 cos θ＝，sin θ＝。 随堂练习 试求出下列各复数在复数平面上的绝对值﹑主辐角，并化成极式。 (1)－－i。???(2)－5＋5i。???(3) 7。???(4) 4－5i。 同界角 极式的定义可得，两极式相等时，向径相等，辐角为同界角。 z1＝r1（cos θ1＋i sin θ1），z2＝r2（cos θ2＋i sin θ2）， 则z1＝z2 r1＝r2，且 θ1＝θ2＋2kπ，k 为整数。 随堂练习 若 2（cos θ＋i sin θ）＝r，且 r＞0，试求 r 与 θ。 ※复数极式的乘法公式与除法公式 令 z1＝r1（cos θ1＋i sin θ1）及 z2＝r2（cos θ2＋i sin θ2），则 (1) z1z2＝r1r2（cos（θ1＋θ2）＋i sin（θ1＋θ2））。