高中数学数列及其极限知识点总结及练习题.doc

高中数学数列及其极限知识点总结及练习题 　　中国魏晋时期的数学家刘徽创「割圆术」﹐利用圆的内接正多边形﹐当边数愈来愈多时﹐会愈靠近圆的面积﹐从而得出了圆周率 π 的近似值。刘徽采用的「割圆术」﹐其程序蕴含了「无穷」﹑「极限」等数学概念。 数列：将一些数值（有限多个或无穷多个）依序排成一列﹐即为一个数列﹐如 a1﹐a2﹐a3﹐…﹐an﹐…﹐ 其中 a1 称为此数列的首项﹐an 表示这个数列的第 n 项（一般项）。我们可用记号〈an〉来表示一个数列。 例题1 写出下列各数列的前 8 项。 (1)〈3n－1〉。 (2)〈（－1）n〉。 (3)〈an〉﹐其中 a1＝1﹐an＝an－1＋n﹐n 为正整数且 n2。 (4)〈an〉﹐其中 an＝20＋21＋…＋2n－1﹐n 为正整数。 依序令 n＝1﹐2﹐…﹐8﹐可得各数列的前 8 项： (1)〈3n－1〉的前 8 项：2﹐5﹐8﹐11﹐14﹐17﹐20﹐23。 (2)〈（－1）n〉的前 8 项：－1﹐1﹐－1﹐1﹐－1﹐1﹐－1﹐1。 (3)〈an〉的前 8 项：1﹐3﹐6﹐10﹐15﹐21﹐28﹐36。 (4)〈an〉的前 8 项： 20﹐ …﹐ 即 1﹐ 15﹐31﹐63﹐127﹐ 随堂练习 写出下列各数列的前 6 项： (1)。　　　(2)〈2n－1〉。　　　(3)。 (4)〈an〉﹐其中 a1＝1﹐an＝an－1＋n2﹐n 为正整数且 n2。 例题2 将下列各数列用〈an〉表示： (1)等差数列：7﹐10﹐13﹐16﹐…。 (2)等比数列：1﹐－ EQ \F(1,2)﹐ EQ \F(1,4)﹐－ EQ \F(1,8)﹐…。 (3)平方数的倒数所成的数列： EQ \F(1,1)﹐ EQ \F(1,4)﹐ EQ \F(1,9)﹐…﹐ EQ \F(1,100)。 (1)此数列首项为 7﹐公差为 3﹐一般项 an 为 7＋3（n－1）＝3n＋4﹐故此数列为〈3n＋4〉。 (2)此数列首项为 1﹐公比为－ EQ \F(1,2)﹐一般项 an 为 1? EQ \b\bc\((\a\hs5\vs5(－ EQ \F(1,2)))n－1﹐故此数列为。 (3)观察此数列可得一般项 an 为 EQ \F(1,n2)﹐共有 10 项﹐故此数列为﹐n 为正整数且 1n10。 随堂练习 将下列各数列用〈an〉表示： (1)等差数列：7﹐10﹐13﹐16﹐…。 (2)等比数列：1﹐－ EQ \F(1,2)﹐ EQ \F(1,4)﹐－ EQ \F(1,8)﹐…。 (3)平方数的倒数所成的数列： EQ \F(1,1)﹐ EQ \F(1,4)﹐ EQ \F(1,9)﹐…﹐ EQ \F(1,100)。 例题3 就 n 值比较两数列第 n 项的大小关系： (1)等比数列和常数数列。 (2)等比数列和常数数列。（log?2 eq \o\ac(～,～)0.3010） 随堂练习 试求数列从第几项开始﹐其值会小于? EQ \F(1,1020) 。 常在比较两数列的一般项时﹐我们可以采用「数学归纳法」来验证。 例题4 证明当 n5 时﹐数列〈n2〉的一般项大于数列〈4n＋1〉的一般项。 只要证明 n5 时﹐n2－（4n＋1）＝n2－4n－1＞0 即可。 我们利用数学归纳法证明如下： (1)n＝5 时﹐n2－4n－1＝4＞0﹐原式成立。 (2)设 n＝k（k5）时﹐k2－4k－1＞0 成立﹐ 则 n＝k＋1 时﹐ （k＋1）2－4（k＋1）－1＝k2＋2k＋1－4k－4－1 ＝（k2－4k－1）＋（2k－3） ＞0＋（2k－3） ＞0﹐　　　　＊（因为 k5﹐故 2k－3＞0） 原式亦成立。 故由数学归纳法﹐得证。 随堂练习 证明当 n7 时﹐数列〈n2〉的一般项大于数列〈7n－3〉的一般项。 例题5 就 n 值比较两数列和第 n 项的大小关系。 先列出一开始的前 4 项﹐观察比较： n 1 2 3 4 … EQ \b\bc\((\a\hs5\vs5(1＋ EQ \F(1,2) ))n || EQ \F(3,2) || V EQ \F(9,4) V V EQ \F(27,8) V V EQ \F(81,16) V … 1＋ EQ \F(1,2) n 1＋ EQ \F(1,2) 1＋ EQ \F(2,2) 1＋ EQ \F(3,2) 1＋ EQ \F(4,2) … 因此我们猜测对于任意正整数 n﹐都有 EQ \b\bc\((\a\hs5\vs5(1＋ EQ \F(1,2) ))n1＋ EQ \F(1,2) n。 利用数学归纳法证明如下： (1)n＝1 时﹐（1＋ EQ \F(1,2) ）1＝ EQ \F(3,2) ＝1＋ EQ \F(1