微积分(曹定华)(订版)课后题答案第二章习题详解.doc
文本预览下载声明
PAGE
PAGE 18
第二章
习题2-1
1. 试利用本节定义5后面的注(3)证明:若xn=a,则对任何自然数k,有xn+k=a.
证:由,知,,当时,有
取,有,,设时(此时)有
由数列极限的定义得 .
2. 试利用不等式说明:若xn=a,则∣xn∣=|a|.考察数列xn=(-1)n,说明上述结论反之不成立.
证:
而
于是,
即
由数列极限的定义得
考察数列 ,知不存在,而,,
所以前面所证结论反之不成立。
3. 利用夹逼定理证明:
(1) =0; (2) =0.
证:(1)因为
而且 ,,
所以由夹逼定理,得
.
(2)因为,而且,
所以,由夹逼定理得
4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.
(1) xn=,n=1,2,…;
(2) x1=,xn+1=,n=1,2,….
证:(1)略。
(2)因为,不妨设,则
故有对于任意正整数n,有,即数列有上界,
又 ,而,,
所以 即 ,
即数列是单调递增数列。
综上所述,数列是单调递增有上界的数列,故其极限存在。
习题2-2
1※. 证明:f(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.
证:先证充分性:即证若,则.
由及知:
,当时,有,
当时,有。
取,则当或时,有,
而或就是,
于是,当时,有,
所以 .
再证必要性:即若,则,
由知,,当时,有,
由就是 或,于是,当或时,有.
所以
综上所述,f(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.
2. (1) 利用极限的几何意义确定 (x2+a),和;
(2) 设f(x)= ,问常数a为何值时,f(x)存在.
解:(1)因为x无限接近于0时,的值无限接近于a,故.
当x从小于0的方向无限接近于0时,的值无限接近于0,故.
(2)若存在,则,
由(1)知 ,
所以,当时,存在。
3. 利用极限的几何意义说明sinx不存在.
解:因为当时,的值在-1与1之间来回振摆动,即不无限接近某一定直线,亦即不以直线为渐近线,所以不存在。
习题2-3
1. 举例说明:在某极限过程中,两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量,也不一定是无穷大量.
解:例1:当时,都是无穷小量,但由(当时,)不是无穷大量,也不是无穷小量。
例2:当时,与都是无穷大量,但不是无穷大量,也不是无穷小量。
例3:当时,是无穷小量,而是无穷大量,但不是无穷大量,也不是无穷小量。
2. 判断下列命题是否正确:
(1) 无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量;
(2) 有界函数与无穷小量之积为无穷小量;
(3) 有界函数与无穷大量之积为无穷大量;
(4) 有限个无穷小量之和为无穷小量;
(5) 有限个无穷大量之和为无穷大量;
(6) y=xsinx在(-∞,+∞)内无界,但xsinx≠∞;
(7) 无穷大量的倒数都是无穷小量;
(8) 无穷小量的倒数都是无穷大量.
解:(1)错误,如第1题例1;
(2)正确,见教材§2.3定理3;
(3)错误,例当时,为无穷大量,是有界函数,不是无穷大量;
(4)正确,见教材§2.3定理2;
(5)错误,例如当时,与都是无穷大量,但它们之和不是无穷大量;
(6)正确,因为,正整数k,使,从而,即在内无界,又,无论多么大,总存在正整数k,使,使,即时,不无限增大,即;
(7)正确,见教材§2.3定理5;
(8)错误,只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。零是无穷小量,但其倒数无意义。
3. 指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量,哪些是该极限过程中的无穷大量.
(1) f(x)= ,x→2; (2) f(x)=lnx,x→0+,x→1,x→+∞;
(3) f(x)= ,x→0+,x→0-; (4) f(x)= -arctanx,x→+∞;
(5) f(x)= sinx,x→∞; (6) f(x)= ,x→∞.
解:(1),即时,是无穷小量,所以是无穷小量,因而也是无穷大量。
(2)从的图像可以看出,,所以,当时,时,是无穷大量;
当时,是无穷小量。
(3)从的图可以看出,,
所以,当时,是无穷大量;
当时,是无穷小量。
显示全部