微积分(曹定华)(订版)课后题答案第二章习题详解.doc

PAGE PAGE 18 第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若xn=a,则对任何自然数k，有xn+k=a. 证：由，知，，当时，有 取，有，，设时（此时）有 由数列极限的定义得 . 2. 试利用不等式说明：若xn=a,则∣xn∣=|a|.考察数列xn=(-1)n，说明上述结论反之不成立. 证： 而 于是， 即 由数列极限的定义得 考察数列 ，知不存在，而，， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) =0； (2) =0. 证：（1）因为 而且 ，， 所以由夹逼定理，得 . （2）因为，而且， 所以，由夹逼定理得 4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) xn=，n=1,2,…； (2) x1=,xn+1＝,n=1,2,…. 证：（1）略。 （2）因为，不妨设，则 故有对于任意正整数n，有，即数列有上界， 又 ，而,， 所以 即 ， 即数列是单调递增数列。 综上所述，数列是单调递增有上界的数列，故其极限存在。 习题2-2 1※. 证明：f(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a. 证：先证充分性：即证若，则. 由及知： ,当时，有， 当时，有。 取，则当或时，有， 而或就是， 于是，当时，有， 所以 . 再证必要性：即若，则, 由知，，当时，有， 由就是 或，于是，当或时，有. 所以 综上所述，f(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a. 2. (1) 利用极限的几何意义确定 (x2+a),和； (2) 设f(x)= ，问常数a为何值时，f(x)存在. 解：（1）因为x无限接近于0时，的值无限接近于a，故. 当x从小于0的方向无限接近于0时，的值无限接近于0，故. （2）若存在，则， 由（1）知 ， 所以，当时，存在。 3. 利用极限的几何意义说明sinx不存在. 解：因为当时，的值在-1与1之间来回振摆动，即不无限接近某一定直线，亦即不以直线为渐近线，所以不存在。 习题2-3 1. 举例说明：在某极限过程中，两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量，也不一定是无穷大量. 解：例1：当时，都是无穷小量，但由（当时，）不是无穷大量，也不是无穷小量。 例2：当时，与都是无穷大量，但不是无穷大量，也不是无穷小量。 例3：当时，是无穷小量，而是无穷大量，但不是无穷大量，也不是无穷小量。 2. 判断下列命题是否正确： (1) 无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量； (2) 有界函数与无穷小量之积为无穷小量； (3) 有界函数与无穷大量之积为无穷大量； (4) 有限个无穷小量之和为无穷小量； (5) 有限个无穷大量之和为无穷大量； (6) y=xsinx在(-∞，+∞)内无界，但xsinx≠∞； (7) 无穷大量的倒数都是无穷小量； (8) 无穷小量的倒数都是无穷大量. 解：（1）错误，如第1题例1； （2）正确，见教材§2.3定理3； （3）错误，例当时，为无穷大量，是有界函数，不是无穷大量； （4）正确，见教材§2.3定理2； （5）错误，例如当时，与都是无穷大量，但它们之和不是无穷大量； （6）正确，因为，正整数k，使，从而，即在内无界，又，无论多么大，总存在正整数k，使，使，即时，不无限增大，即； （7）正确，见教材§2.3定理5； （8）错误，只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。零是无穷小量，但其倒数无意义。 3. 指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量，哪些是该极限过程中的无穷大量. (1) f(x)= ,x→2; (2) f(x)=lnx，x→0+，x→1,x→+∞； (3) f(x)= ,x→0+，x→0-； (4) f(x)= -arctanx,x→+∞; (5) f(x)= sinx,x→∞; (6) f(x)= ，x→∞. 解：（1），即时，是无穷小量，所以是无穷小量，因而也是无穷大量。 （2）从的图像可以看出，，所以，当时，时，是无穷大量； 当时，是无穷小量。 （3）从的图可以看出，， 所以，当时，是无穷大量； 当时，是无穷小量。