8.4 多元函数微分法在几何上的应用.ppt

CH1_ §8.4 多元函数微分法在几何上的应用 一 空间曲线的切线与法平面 二 曲面的切平面与法线 * 一 空间曲线的切线与法平面 1 空间曲线C的方程为 设点 它所对应 的参数是 ，则曲线C在点M处的切 线方程是 其中 称为 曲线C在点M处的切向量。 证 设点P的坐标是 它所对应的参数是 ， 则割线MP的方程是 可改写为 让 即 便有 曲线C在点M处的法平面是过点M 且垂直于切线的平面， 它的方程为 例1 求螺旋线 在点 处的切线与法平面方程。 解 点 所对应的参数为 因此螺旋线 在点 处的切向量为 所以切线方程是 法平面方程是 即 解 所以切线方程是 法平面方程是 在 处的切线与法平面方程。 例2 求曲线 因此切向量 即 2 空间曲线C的方程为 不妨设 确定 则曲线C在点 处的切向量是 例3 求曲线 在点 处的切线方程。 解 ，解得 因此曲线在点 处的切向量 所以切线方程是 例4 求曲线 在点 处的切线方程。 解 方法一 ，解得 因此曲线在点 处的切向量 所以切线方程是 方法二 曲线的一般方程可以化为参数方程 因此曲线在点 处的切向量 所以切线方程是 二 曲面的切平面与法线 1 曲面 的方程为 设点 则曲面 在点 处的切平面方程是 其中 称为曲面 在点 处的法向量。 证 在曲面 上任意做一条过点 的曲线 ，不妨设 曲线 的方程为 点 所对应的 参数为 ，则曲线 在点 处的切向量是 由于 所以 两边对 求导得 特别取 有 即 这说明曲面 上任意过点 的曲线 在点 处的切线是在同一个平面上， 且这个平面的法向量是 ，这个平面就是曲面 在点 处的切平面。 曲面 在点 的法线是过点 垂直于切平面的 的直线， 它的方程是 例5 求曲面 在点 处的 切平面与法线。 解 记 则 切平面方程是 即 法线方程是