§9.6 多元函数微分学的几何应用.ppt

一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 三、小结 * 三、小结 思考题 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 复习——隐函数求导 用推导法求 空间曲线Г方程形式有 空间曲面Σ方程形式有 复习——复合函数求导 全导数 ——【基本情形】 设空间曲线Г的参数方程为： 三函数均可导 割线M0M′的方程为 考察割线趋近于极限位置——切线的过程 上式分母同除以 曲线在M0 处的切线方程 【切向量】切线的方向向量称为曲线的切向量. 【法平面】过M0点且与切线垂直的平面—点法式 【切向量指向】与参数 t 增大时点M移动的走向一致. 【解】 切线方程 法平面方程 [课本P39例1自阅] 转化为参数方程： 法平面方程为 切向量： ——【特殊情形1】 基本情形 一般式 切向量为 其中 由方程组确定的隐函数求导法求得, 将切向量 代入基本情形即得切线方程和法平面方程 ——【特殊情形2】 基本情形 如何转化为参数式？ 【解2】 曲线方程等价于 切线方程 法平面方程 1. 【曲面∑方程为隐式情形 】 曲线在M0处的切向量 在曲面上任取一条过点M0的曲线 三个函数都可导 令 则 [证] 由 即 故 基本情形 切平面方程为 法线方程为 曲面在M0处的法向量即 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 2. 特殊地:【曲面∑方程为显式情形 】 故曲面在M0 处的切平面方程为 曲面在M0处的法线方程为 令 则法向量为 在点M 的切平面的方程： [复习] 一元函数微分的几何意义 其中 4. 【法向量的方向余弦】 若曲面Σ为 ——显式 则法向量为 【解】 令 切平面方程 法线方程 【分析】 曲面方程为隐式情形 [课本例3自阅]