第7节多元函数微分学的几何应用.ppt

第七节 多元函数微分学的几何应用一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 小结 1. 证明曲面 2. 求曲线 * 设空间曲线的方程 (1)式中的三个函数均可导. 考察割线趋近于极限位置——切线的过程 上式分母同除以 割线 的方程为 曲线在 M 处的切线方程: 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. 法平面：过 M 点且与切线垂直的平面. 曲线在 M 处的法平面方程: 解 切线方程 法平面方程 1.空间曲线方程为 法平面方程为 特殊地： 2.空间曲线方程为 切向量 切线方程为 法平面方程为 解 所求切线方程为 法平面方程为 设曲面方程为 曲线在 M 处的切向量 在曲面上任取一条通过点M的曲线 令 则 切平面方程为 法线方程为 曲面在M处的法向量即 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 特殊地：空间曲面方程形为 曲面在M处的切平面方程为 曲面在M处的法线方程为 令 解 切平面方程为 法线方程为 法向量 解 令 切平面方程 法线方程 法向量 解 设 为曲面上的切点, 切平面方程为 依题意，切平面方程平行于已知平面，得 因为 是曲面上的切点， 所求切点为 满足方程 切平面方程(1) 切平面方程(2) 例6. 确定正数? 使曲面 在点 解: 二曲面在 M 点的法向量分别为 二曲面在点 M 相切, 故 又点 M 在球面上, 于是有 相切. 与球面 , 因此有 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线 提示: 设切点 切点满足曲面和平面方程 思考与练习 2. 设 f ( u ) 可微, 证明 曲面 上任一点处的 切平面都通过原点. 提示: 在曲面上任意取一点 则通过此 证明原点坐标满足上述方程 . 点的切平面方程 与定直线平行, 证: 曲面上任一点的法向量 取定直线的方向向量为 则 (定向量) 故结论成立 . 的所有切平面恒 备用题 在点(1,1,1) 的切线 解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为 因此切线的方向向量为 由此得切线: 法平面: 即 与法平面. 例2 求曲线，在点处的切线及法平面方程. 由此得切向量 由于曲线是曲面上通过的任意一条曲线，它们在 的切线都与同一向量垂直，故曲面上通过的一切曲线在点的切线都在同一平面上，这个平面称为曲面在点的切平面. 通过点而垂直于切平面的直线 称为曲面在该点的法线. 例3 求旋转抛物面在点处的切平面及法线方程. 求曲线， ,在处的切线和法平面方程. 当时， 例4 求曲面在点处的切平面及法线方程. 例5 求曲面平行于平面的各切平面方程. 填空题: 曲线再对应于的点处切线方程为________________； 法平面方程为________________. 曲面在点处的切平面方程为__________________； 法线方程为__________________. 求出曲线上的点,使在该点的切 线平行于平面. 求球面与抛物面的交线在处的切线方程 . 四、求椭球面上平行于平面 的切平面方程. 五、试证曲面上任何点处的 切平面在各坐标轴上的截距之和等于 . 一、1、； 2、. 二、. 三、. 四、. 1. 如果平面与椭球面相切，求.