多元函数微分学的几何应用课件.ppt

上页下页铃结束返回首页多元函數微分學的幾何應用上頁下頁鈴結束返回首頁一、空間曲線的切線與法平面下頁設空間曲線?的參數方程為x??(t),y??(t),z??(t),這裏假定?(t),?(t),?(t)都在[???]上可導?設t?t0和t?t0??t分別對應於曲線上的點M0(x0,y0,z0)和M(x0+?x,y0+?y,z0+?z)?當M?M0,即?t?0時,作曲線的割線MM0,其方程為得曲線在點M0處的切線方程為設空間曲線?的參數方程為x??(t),y??(t),z??(t),這裏假定?(t),?(t),?(t)都在[???]上可導?過曲線?上t?t0所對應的點M0切線方程為向量T?(j?(t0),y?(t0),w?(t0))稱為曲線?在點M0的切向量.通過點M0而與切線垂直的平面稱為曲線?在點M0處的法平面,其法平面方程為j?(t0)(x?x0)?y?(t0)(y?y0)?w?(t0)(z?z0)?0.下頁一、空間曲線的切線與法平面解xt??1,點(1,1,1)所對應的參數t?1.因為zt??3t2,yt??2t,於是,切線方程為所以切向量為T=(1,2,3).法平面方程為即x?2y?3z?6.(x?1)?2(y?1)?3(z?1)?0,下頁例1求曲線x?t,y?t2,z?t3在點(1,1,1)處的切線及法平面方程?曲線x??(t),y??(t),z??(t)在t?t0所對應的點M0的切向量為T?(j?(t0),y?(t0),w?(t0)).討論:1.若曲線的方程為y?j(x),z?y(x),則切向量T??提示:1.曲線的參數方程可視為:x?x,y?j(x),z?y(x),切向量為T?(1,j?(x),y?(x)).下頁曲線x??(t),y??(t),z??(t)在t?t0所對應的點M0的切向量為T?(j?(t0),y?(t0),w?(t0)).2.若曲線的方程為F(x,y,z)?0,G(x,y,z)?0,則切向量T??2.兩方程可確定兩個隱函數:y?j(x),z?y(x).切向量為T?(1,j?(x),y?(x)),而j?(x),y?(x)要通過解方程組得到.例2求曲線x2?y2?z2?6,x?y?z?0在點(1,?2,1)處的切線及法平面方程.解方程組在點(1,?2,1)處化為為求切向量,將所給方程的兩邊對x求導數,得所求切線方程為從而T={1,0,-1}.法平面方程為(x?1)?0?(y?2)?(z?1)?0,即x?z?0.首頁二、曲面的切平面與法線因為曲線?在曲面?上,所以有F[?(t),y(t),w(t)]?0.向量n?(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))與曲線?上點M0處的切向量T?(j?(t0),y?(t0),w?(t0))是垂直的.Fx(x0,y0,z0)j?(t0)?Fy(x0,y0,z0)y?(t0)?Fz(x0,y0,z0)w?(t0)?0.等式的兩邊在t?t0點求全導數得下頁設M0(x0,y0,z0)是曲面??F(x,y,z)?0上的一點,?是曲面?上過點M0的任意一條曲線,x??(t),y??(t),z??(t),t?t0對應於點M0(x0,y0,z0)?其參數方程為二、曲面的切平面與法線向量n?(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))與曲線?上點M0處的切向量T?(j?(t0),y?(t0),w?(t0))是垂直的.設M0(x0,y0,z0)是曲面??F(x,