0806多元函数微分学的几何应用.ppt

* 第六节 多元函数微分学的几何应用 ◆本节主要解决以下两个方面的问题: 1 空间曲线的切线问题 2 空间曲面的切平面问题 设曲线的参数方程为 一、空间曲线的切线与法平面 ◆切线: 割线的极限位置称为切线. ◆法平面: 过M点且与切线垂直的平面, 曲线在点M处的法平面方程为： 解 故,切线方程为: 法平面方程为: 例1 解 练习1 故,切线方程为: 法平面方程为: 1. 空间曲线的方程为: 法平面方程为： ◆特殊地： 切线方程为: 解 练习2 切向量 2. 空间曲线的方程为: 切线方程为: 法平面方程为： ( 方程两边求导 法求 2. 空间曲线的方程为: 故,切线方程为: 法平面方程为: 例2 解2 将所给方程的两边对x求导并移项，得: 解1 直接利用公式(不提倡使用该法). 所以有切向量 故, 所求切线方程为: 法平面方程为: 设曲面方程为 曲线在M处的一个切向量为: 切平面 二、曲面的切平面与法线 在曲面上任取一条通过点M的曲线 法线 令 显然 故,切平面方程为: 曲线在M处的一个切向量为: 法线方程为: 若曲面方程为 曲面在点M(x0, y0, z0) 的切平面方程 法线方程为 曲面在 M (x0, y0, z0) 处的法向量 解 令 例3 故,切平面方程为： 法线方程为： 解 练习3 故,切平面方程为： 法线方程为： 点M处的切平面的一个法向量为: 解 例4 依题意, 切平面平行于已知平面, 所以: 代入曲面方程, 解得: 故, 所求切点为： *