多元函数微分在的几何中应用.ppt
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9-4 多元函数微分法的几何应用.ppt
第四节 多元函数微分学的几何应用 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 一、空间曲线的切线与法平面 例4. 二、曲面的切平面与法线 求曲线 2. 曲面的切平面与法线 2) 显式情况. 3. 设 f ( u ) 可微, * 复习: 平面曲线的切线与法线 已知平面光滑曲线 切线方程 法线方程 若平面光滑曲线方程为 故在点 切线方程 法线方程 在点 有 有 因 设空间曲线的方程 (1)式中的三个函数均可导. 时，对应点为 时，对应点为 考察割线趋近于极限位置——切线的过程 上式分母同除以 割线 的方程为 割线 的方向向量为 曲
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8-6多元函数微分的几何应用.ppt
一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 三、小结 * 设空间曲线的方程 (1)式中的三个函数均可导. 考察割线趋近于极限位置——切线的过程 上式分母同除以 割线 的方程为 曲线在M处的切线方程 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. 法平面：过M点且与切线垂直的平面. 解 切线方程 法平面方程 1.空间曲线方程为 法平面方程为 特殊地： 2.空间曲线方程为 切线方程为 法平面方程为 所求切线方程为 法平面方程为 设曲面方程为 曲线在M处的切向量 在曲面上任取一条通过点M的曲线 令 则 切平面方程为 法线方程为 曲面在M处的法向量即 垂直于曲面上切平面的向量
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多元函数微分法在几何上的应用.ppt
§8.4多元函数微分法在几何上的应用一空间曲线的切线与法平面二曲面的切平面与法线一空间曲线的切线与法平面1空间曲线C的方程为设点它所对应的参数是，则曲线C在点M处的切线方程是其中称为曲线C在点M处的切向量。证设点P的坐标是它所对应的参数是，则割线MP的方程是可改写为让即便有曲线C在点M处的法平面是过点M且垂直于切线的平面，它的方程为例1求螺旋线在点处的切线与法平面方程。解点所对应的参数为因此螺旋线在点处的切向量为所以切线方程是法平面方程是即解1所以切线方程是2法平面方程是3在4即5因此切向量处的切线与法平面方程。6例2求曲线2空间曲线C的方程为处的切向量是确定不妨设则曲线C在点在点处的切线方程
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第6节 多元函数微分学的几何应用.ppt
一、空间曲线的切线与法平面 （1） 曲线方程为参数方程的情况 切平面方程 特别, 当光滑曲面? 的方程为显式 法向量的方向余弦： 例6 求曲面 例7. 求曲线 例8 内容小结 2. 曲面的切平面与法线 2) 显式情况. 作业 * 第六节 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用 第九章 复习: 平面曲线的切线与法线 已知平面光滑曲线 切线方程 法线方程 若平面光滑曲线方程为 故在点 切线方程 法线方程 在点 有 有 因 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 位置. 空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限 平面. 点击图中任
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5.6-多元函数微分学的几何应用.ppt
第五章 多元函数微分法及其应用 第一节 预备知识 第二节 极限与连续 第三节 偏导数与全微分 第四节 微分运算法则 第五节 方向导数与梯度 第六节 多元函数微分学的几何应用 第七节 多元函数的Taylor公式与极值 *第八节 n元m维向量值函数的微分法 第九节 复变函数的导数与解析函数 * x y z o M M0 L T 6.1 空间曲线的切线与法平面 注: (3) 空间曲线方程为 切线方程为 法平面方程为 所求切线方程为 法平面方程为 T x y z o L 6.2 空间曲线的切平面与法线 切平面上点的竖坐标的增量 因为曲面在M处的切平面方
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8–6多元函数微分学几何应用.ppt
一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 三、小结 * 空间曲线的方程： 设上式中的三个函数均可导. 问题：研究 M 点的切线？ 割线MM’ 极限位置——切线 上式分母同除以 割线 的方程为 MM’ 的方向向量是什么？ ……(1) 曲线在M处的切线方程： 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. 法平面：过M点且与切线垂直的平面. (1)式分母是什么？ 解 切线方程 法平面方程 1.空间曲线方程为 法平面方程为 特殊情况分析： 切线方程为 切向量是什么？ 切向量为 所求切线方程为 法平面方程为 小结 求空间曲线的切线与法平面关键是求切向量 设曲面方程为 曲线在
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8.4多元函数微分法在几何上应用.ppt
CH1_ §8.4 多元函数微分法在几何上的应用 一 空间曲线的切线与法平面 二 曲面的切平面与法线 * 一 空间曲线的切线与法平面 1 空间曲线C的方程为 设点 它所对应 的参数是 ，则曲线C在点M处的切 线方程是 其中 称为 曲线C在点M处的切向量。 证 设点P的坐标是 它所对应的参数是 ， 则割线MP的方程是 可改写为 让 即 便有 曲线C在点M处的法平面是过点M 且垂直于切线的平面， 它的方程为 例1 求螺旋线 在点 处的切线与法平面方程。 解 点 所对应的参数为 因此螺旋线 在点 处的切向量为 所以切线方程是 法平面方程是 即 解 所以切线方程是 法平面方程是 在 处的
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8.4 多元函数微分法在几何上的应用.ppt
CH1_ §8.4 多元函数微分法在几何上的应用 一 空间曲线的切线与法平面 二 曲面的切平面与法线 * 一 空间曲线的切线与法平面 1 空间曲线C的方程为 设点 它所对应 的参数是 ，则曲线C在点M处的切 线方程是 其中 称为 曲线C在点M处的切向量。 证 设点P的坐标是 它所对应的参数是 ， 则割线MP的方程是 可改写为 让 即 便有 曲线C在点M处的法平面是过点M 且垂直于切线的平面， 它的方程为 例1 求螺旋线 在点 处的切线与法平面方程。 解 点 所对应的参数为 因此螺旋线 在点 处的切向量为 所以切线方程是 法平面方程是 即 解 所以切线方程是 法平面方程是 在 处的
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第7节多元函数微分学的几何应用.ppt
第七节 多元函数微分学的几何应用 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 小结 1. 证明曲面 2. 求曲线 * 设空间曲线的方程 (1)式中的三个函数均可导. 考察割线趋近于极限位置——切线的过程 上式分母同除以 割线 的方程为 曲线在 M 处的切线方程: 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. 法平面：过 M 点且与切线垂直的平面. 曲线在 M 处的法平面方程: 解 切线方程 法平面方程 1.空间曲线方程为 法平面方程为 特殊地： 2.空间曲线方程为 切向量 切线方程为 法平面方程为 解 所求切线方程为 法平面方程为 设曲面方程为 曲线在 M 处
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0806多元函数微分学的几何应用.ppt
* 第六节 多元函数微分学的几何应用 ◆本节主要解决以下两个方面的问题: 1 空间曲线的切线问题 2 空间曲面的切平面问题 设曲线的参数方程为 一、空间曲线的切线与法平面 ◆切线: 割线的极限位置称为切线. ◆法平面: 过M点且与切线垂直的平面, 曲线在点M处的法平面方程为： 解 故,切线方程为: 法平面方程为: 例1 解 练习1 故,切线方程为: 法平面方程为: 1. 空间曲线的方程为: 法平面方程为： ◆特殊地： 切线方程为: 解 练习2 切向量 2. 空间曲线的方程为: 切线方程为: 法平面方程为： ( 方程两边求导 法求 2. 空间曲线的方程为: 故,切线方程为: 法平面
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多元函数微分学的几何应用.ppt
问题：研究M点的切线？空间曲线的切线与法平面设上式中的三个函数均可导.空间曲线的方程：添加标题添加标题添加标题添加标题MM’的方向向量是什么？上式分母同除以……(1)割线的方程为割线MM’极限位置——切线曲线在M处的切线方程：切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.法平面：过M点且与切线垂直的平面.式分母是什么？解01切线方程02法平面方程03特殊情况分析：法平面方程为切向量是什么？空间曲线方程为切线方程为切向量为所求切线方程为求空间曲线的切线与法平面关键是求切向量小结法平面方程为二、曲面的切平面与法线设曲面方程为曲线在M处的切向量假设：在曲面上任取一条通过点M的曲线令则切平面方程为讨论：为什
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§9.6 多元函数微分学的几何应用.ppt
一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 三、小结 * 三、小结 思考题 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 复习——隐函数求导 用推导法求 空间曲线Г方程形式有 空间曲面Σ方程形式有 复习——复合函数求导 全导数 ——【基本情形】 设空间曲线Г的参数方程为： 三函数均可导 割线M0M′的方程为 考察割线趋近于极限位置——切线的过程 上式分母同除以 曲线在M0 处的切线方程 【切向量】切线的方向向量称为曲线的切向量. 【法平面】过M0点且与切线垂直的平面—点法式 【切向量指向】与参数 t 增大时点M移动的走向一致. 【解】 切线方程 法平面方程 [课本P39例1
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多元函数微分学的几何应用1.ppt
第六节 二、空间曲线的切线与法平面 三、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用 第九章 一、一元向量值函数及其导数 复习 S1:F(x,y,z)=0, S2:G(x,y,z)=0. 空间曲线C为曲面S1和曲面S2的交线,则空间曲线C的方程为: F(x,y,z)=0, G(x,y,z)=0. 空间曲线的一般方程. 空间曲线的一般方程 空间曲线的参数方程 复习: 平面曲线的切线与法线 已知平面光滑曲线 切线方程 法线方程 若平面光滑曲线方程为 故在点 切线方程 法线方程 在点 有 有 因 二、空间曲线的切线与法平面 设空间曲线?的参数方程为
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多元函数微分学在几何中的应用.ppt
习题课 一、 基本概念 二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用 1. 证明: 例2. 设 解法2 例3.设 例5. 在第一卦限内作椭球面 空间光滑曲面 切平面方程 法线方程 2) 显式情况. 法线的方向余弦 法向量 3）曲面?的参数方程或向量方程： 从而有曲面? 过点 的切平面方程为: 法线方程为: 思考与练习 1. 如果平面 与椭球面 相切, 提示: 设切点为 则 (二法向量平行) (切点在平面上) (切点在椭球面上) 证明 曲面 上任一点处的 切平面都通过原点. 提示: 在曲面上任意取一点 则通过此 2. 设 f ( u ) 可微, 证明原点坐标满足上述方
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多元函数微分学的几何应用.pptx
设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导.第七节多元函数微分学的几何应用
一、空间曲线的切线与法平面
考察割线趋近于极限位置——切线的过程上式分母同除以割线的方程为
法平面：过M点且与切线垂直的平面.曲线在M处的法平面方程:切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.曲线在M处的切线方程:
解切线方程法平面方程
法平面方程为特殊地：空间曲线方程为
空间曲线方程为01切向量02
切线方程为法平面方程为
解
01所求切线方程为02法平面方程为
二、曲面的切平面与法线设曲面方程为曲线在M处的切向量在曲面上任取一条通过点M的曲线
01令03切平面方程为02则
法线方程为曲面在M处的法向量即垂直于曲面上切