8-6多元函数微分的几何应用.ppt

一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 三、小结 * 设空间曲线的方程 (1)式中的三个函数均可导. 考察割线趋近于极限位置——切线的过程 上式分母同除以 割线 的方程为 曲线在M处的切线方程 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. 法平面：过M点且与切线垂直的平面. 解 切线方程 法平面方程 1.空间曲线方程为 法平面方程为 特殊地： 2.空间曲线方程为 切线方程为 法平面方程为 所求切线方程为 法平面方程为 设曲面方程为 曲线在M处的切向量 在曲面上任取一条通过点M的曲线 令 则 切平面方程为 法线方程为 曲面在M处的法向量即 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 特殊地：空间曲面方程形为 曲面在M处的切平面方程为 曲面在M处的法线方程为 令 切平面上点的竖坐标的增量 因为曲面在M处的切平面方程为 其中 解 切平面方程为 法线方程为 解 令 切平面方程 法线方程 解 设 为曲面上的切点, 切平面方程为 依题意，切平面方程平行于已知平面，得 因为 是曲面上的切点， 所求切点为 满足方程 切平面方程(1) 切平面方程(2) 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线 （当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用推导法） （求法向量的方向余弦时注意符号） 例2 求曲线，在点处的切线及法平面方程. 解1 直接利用公式; 解2 将所给方程的两边对求导并移项，得 由此得切向量 求曲线， ,在处的切线和法平面方程. 当时， 由于曲线是曲面上通过的任意一条曲线，它们在的切线都与同一向量垂直，故曲面上通过的一切曲线在点的切线都在同一平面上，这个平面称为曲面在点的切平面. 通过点而垂直于切平面的直线 称为曲面在该点的法线. 全微分的几何意义 若、、表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与轴的正向所成的角是锐角，则法向量的方向余弦为 例3 求旋转抛物面在点处的切平面及法线方程. 例4 求曲面在点处的切平面及法线方程. 例5 求曲面平行于平面的各切平面方程. 如果平面与椭球面相切，求. 填空题: 曲线再对应于的点处切线方程为________________； 法平面方程为________________. 曲面在点处的切平面方程为__________________； 法线方程为__________________. 求出曲线上的点,使在该点的切 线平行于平面. 求球面与抛物面的交线在处的切线方程 . 四、求椭球面上平行于平面 的切平面方程. 五、试证曲面上任何点处的 切平面在各坐标轴上的截距之和等于 . 一、1、； 2、. 二、. 三、. 四、. 在的全微分，表示曲面在点处的切平面上的点的竖坐标的增量.