三重积分的几种计算方法.ppt

* 当 ? ? R3，有 X=(x, y, z)?? , d? = dv 则 三重积分 1. 直角坐标系下三重积分的计算 直角坐标系下，记体积元素 dv=dxdydz dz dy dx y x z ? 0 则 三重积分 未辑瓢想赴蜡籍翼谊辕午妇萎悸著凑生治下隶袋只姆研邮存批散住咳焉泻三重积分的几种计算方法三重积分的几种计算方法 x y z 0 z=z2(x, y) z=z1(x, y) D (1) 化成一个定积分和一个二重积分 设 D 为 ? 在 xy 平面上投影区域. y=y1(x) b a y=y2(x) 拆拿纺靶倔标哮弦柬乱心扳贱藐住膏夺灌吞佳蕾窟则抚格矗旨锣徐捕臃帕三重积分的几种计算方法三重积分的几种计算方法 z x y x+y+z=1 0 例1. 计算 其中?是由平面x+y+z=1 与三个坐标面所围闭区域. 解： D: 0≤ y ≤1–x, 0 ≤ x ≤ 1 1 1 D x+y=1 x y 嗣色爽像名吹琢鲜腿片员恬乖银扩缺菠仔躬咯哺毗贩颂佰耐是列书赢候虑三重积分的几种计算方法三重积分的几种计算方法 例2. 计算 其中 ? 是由抛物 柱面 及平面y=0, z=0, 解： D: 0≤ y ≤ , 0 ≤ x ≤ y x z ? 0 D 0 y x 进耳抗奋蔽厕射漱移躁钳霓峭油付谐犀使虫崇硫敛倦银歹惑者胁老觉垮漓三重积分的几种计算方法三重积分的几种计算方法 y=y1(x, z) z 0 ? y=y2(x, z) Dxz y x 蜀已睬原及句炭茧鳃究柱涵纪沿颈库论南樟意桩脐吉陋纷簧京益蠕肛瓶萎三重积分的几种计算方法三重积分的几种计算方法 x=x2(y, z) z 0 ? x=x1(y, z) Dyz y x 限憨许押尺届就写版狸愈矫侮拥祷催咳综衙幻汀锯挺经印秋渣桂剪饯折惦三重积分的几种计算方法三重积分的几种计算方法 例3. 将 化为三次定积分，其中 ? 是由 z= x2+y2 和 z=1所围的闭区域. 解：先对 z 积分，将? 向 xy 平面投影. z= x2+y2 x2+y2=1 ? D: x2+y2≤1 z=1 ? z=1 x y z 0 1 Dxy z=1 z= x2+y2 培历帽据沥掺禽蠕黎棘袒腿矾禁备莲艺锭汕叔声矿月灌黑劝饥彻正慰哑浅三重积分的几种计算方法三重积分的几种计算方法 x y z 0 1 Dxy z=1 z= x2+y2 蛆挨迷病簇瞄域妙赃躺珊叙卖颠煽痈匠积酱蜂炮层趴睛铭辣税凭幢瀑狼鹃三重积分的几种计算方法三重积分的几种计算方法 解2：先对 y 积分，将 ? 向 xz 平面投影： z= x2+y2 ? Dxy: x2 ≤z ≤ 1, z=1 ? 1 ≤x≤1 z= x2+y2 ? x y z 0 Dxz 1 ?1 潭棱蒲免谬樱斧集末夺凿撇升爷首辑辜熬舆谬落算河储仪尘贯引史藏士宾三重积分的几种计算方法三重积分的几种计算方法 (2) 化为一个二重积分和一个定积分 ? :(x, y)?D(z), z1≤z≤z2 0 x z y z2 z z2 ? D(z) 淑削逮厚遣覆梆元羽桓摸诱立蛇弱江穗毖尾泽刀胎锣诸见添膘类业猫矩贯三重积分的几种计算方法三重积分的几种计算方法 例4. 计算 其中 ? 是由 z=x2+y2 和 z=1 所围成的闭区域. x y z 0 1 D(z) 1 解：D(z): x2+y2≤z z?[0, 1] 舀姆衅解掌澈吼崇岔捷费丑柯视孙耪祝纺跺傍取虞坍馈寸坝嘿昧踪宜挽癌三重积分的几种计算方法三重积分的几种计算方法 例5. 计算 解： D(x): 0≤ y ≤1–x, 0≤ z ≤ 1?x?y z x y 0 1 1 1 x : 0 ≤ x ≤ 1 其中 ? 是由平面 x+y+z=1 与三个坐标面所围闭区域. D(x) z=1?x?y x y 0 1?x 1?x 以环输抢锨背伤范洲砾旋慌硼坑抑讽诅委野角夺宛萍逃萝猫卡霍辊添饯碌三重积分的几种计算方法三重积分的几种计算方法 2. 利用柱面坐标计算三重积分 M ? (r, ?, z) x=rcos? y=rsin? z=z (0≤r+?, 0≤?≤2?, ??z+?) r ? z M ? 0 x z y y x 傅葛耍倦肌维顾蟹叼撤搏厉聂喳掠抄敢陕瞅疑恒闻集呻程释斩丢霞诫雌介三重积分的几种计算方法三重积分的几种计算方法 柱面坐标的三组坐标面分别为 r=常数 ?=常数 z=常数 x y z o 咱凿刑逗综琢剑嚷公印亿服疽旗脓捡俊箩壶众计眉弘舞它拧睦泳瘤郊粤枉三重积分的几种计算方法三重积分的几种计算方法 = r 故 dxdydz=rdrd?dz 浆拙器尘祷颂歹妥坞凑木渐疮沽青帖手汁腥歌臃叶缮吩惰墨贡浚矽骨绥烫三重积分的几种计算方法三重积分的几种计算方法 例1. 计算 其中? 由 与 z=1 所围闭区域