二重积分的几种计算方法.doc

二重积分的几种计算方法 二重积分是数学分析的重要组成部分，二重积分是定积分的推广，是二元函数在一个平面的一个区域的积分。计算二重积分的一般原则是将二重积分化为二次积分（即累次积分）加以计算。求积的困难主要来自两个方面：一是被积函数的复杂性，二是积分区域的多样寻。不同顺序二次积分计算的难易程度往往是不同的，又是错选积分顺序导致积分无法计算，有的二重积分必须通过换元才能求出。计算二重积分的一般步骤如下： 画出积分区域D的草图； 求交点； 选择直角坐标系下计算，或极坐标系下计算； 选择积分次序； 化二重积分为二次积分； 计算。 二重积分的直接计算方法 所谓连续函数展步在有限封闭可求积二位域内的二重积分乃是指数 其中，而其和为对所有，使的那些值来求的。 若域有下面的不等式所给出 其中和为闭区间上的连续函数，则对应的二重积分可按下面的公式计算 例1. 计算，其中区域是由直线与抛物线所围成的区域。 解: 积分区域如图1所示，有定义是简单区域，边界与得交点为和。 若选择先对积分，则过轴上内的任一点作轴的平行线，该线的与下边界交点在上，与上边界交点在上，所求积分为 若选择先对积分，同理可得 图1 若求二重积分时，遇到复杂区域，应将复杂区域化成若干个简单区域，然后根据，来计算。 例2. 计算，其中是由，，及所围成。 解: 积分区域如图2所示，有定义可知为复杂区域，边界线的交点分别为。 若先对积分则连接，将分成两个简单区域，。的方程为，所求积分为 图2 图3 若先对积分，则连接,把区域分成两个简单区域，。的方程为，如图3所示，所求积分应为 在化二重积分为累次积分时还应注意：若先对积分，则第一次积分是是积分变量，积分上下限应含有的表达式或常数；若先对积分，则第一次积分时时积分变量，积分上下限应该含有的表达式或常数。 二重积分中的变量代换 若可微分的连续函数 把平面上的??限域单值惟一地映射为平面上的域雅哥比式 则下之公式正确： 特别是，根据公式，变换为极坐标和得情形有 例2 ，其积分区域是由椭圆所围的区域。 解： 作变化，则域变为域，且。于是， 例3 设是常数，计算积分。 解： 设则，变成 小结 计算二重积分必须注意：能否快算，用何坐标，是否分区域，如何定限。计算二重积分的主要方法有：几何意义化简，利用直角坐标或极坐标化为二次积分，利用分域法，交换积分次序等。 参考文献： [1] 吉米多维奇.数学分析习题集精选精解 [M]山东：山东科技出版社，2007 [2] 钱吉林.数学分析题解精粹 [M]湖北：湖北长江出版集团 2009 [3] 同济大学应用数学系.微积分（下册） [M]北京：高等教育出版社 2003