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重积分计算方法.ppt

发布:2025-01-26约小于1千字共39页下载文档
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二重积分的计算曲顶柱体体积:

1.X─型区域特点:用平行于y轴且穿过D内部的直线与D的边界相交不多于两点。

2.Y─型区域特点:平行于x轴且穿过D内部的直线与D的边界相交不多于两点。

X型区域的特点:穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图,在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.

积分区域如图解

解积分区域如图

曲面围成的立体如图.解

极坐标下重积分的计算(2)极坐标与直角坐标的关系(3)曲线的极坐标表示圆:x2+y2-2y=0r2cos2θ+r2sin2θ-2rsinθ=0r2=2rsinθ该圆的极坐标方程为r=2sinθ·aθ=c~r=a~r=2sinθoθγM(x,y)xy●平面上给定点M(x,y)M(r,θ)—点M的极坐标(r为常数,0≤θ<2π)(1)极坐标例如r=a——圆θ=c——射线·

以圆族r=ri,及射线族θ=θi(i=1,2,…,n)分割D

满足一阶偏导数连续;雅可比行列式(3)变换定理2变换:是一一对应的,二重积分的变量变换公式则

证根据定理条件可知变换T可逆.用平行于坐标轴的直线分割区域任取其中一个小矩形,其顶点为通过变换T,在xoy面上得到一个四边形,其对应顶点为则

同理得当h,k充分小时,曲边四边形M1M2M3M4近似于平行四边形,故其面积近似为

因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式:例如,直角坐标转化为极坐标时,

广义极坐标变换

例计算其中D是x=0,y=0,x+y=1所围区域.解则令

例求抛物线y2=mx,y2=nx和直线所围区域D的面积.解令

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