三重积分的计算方法.doc

重庆三峡学院数学分析课程论文

三重积分的计算方法

院系数学与统计学院

专业数学与应用数学〔师范〕

姓名

年级2010级

学号2010060341

指导教师刘学飞

2014年5月

三重积分的计算方法

〔重庆三峡学院数学与统计学院2010级数学与应用数学〔师范〕1班〕

摘要：三重积分的计算是数学分析中的难点。本文结合书本教材，总结出三重积分在直角坐标和柱坐标下的计算方法，并结合例子给出相应的处理方法，对学者有一定的帮助。

关键词：三重积分;累次积分;直角坐标;柱坐标

引言

计算三重积分的关键是将其转化为累次积分。对于初学者来说，积分区域简单直观的三重积分，计算起来比拟容易，而积分区域相对复杂的，积分限界定常常让人无从下手且易出错。尽管教材中给出了相关的计算方法，但是如何正确把握和应用也是难题。为此，本文对前人有关重积分的计算方法做了简单的总结，希望对初学者有一定的帮助。

1.在直角坐标系下的计算方法

直角坐标系下三重积分的计算方法在许多书本教材中都提到，其中有“先一后二”法和“先二后一”法。那么如何选择一种恰当的累次积分法也就成了计算的关键之一。通常情况下，我们根据积分区域的类型以及被积函数的特点等综合考虑来确定积分法。为了方便理解三重积分的计算公式和方法，我们先介绍几个概念和定理:

定义1由不等式组所围成的空间区域称型区域其中称型区域，是上的单值连续函数，是上的单值连续函数；

定义2由不等式组所围成的空间区域称型区域其中称型区域，是上的单值连续函数，是上的单值连续函数；

定义3由不等式组所围成的空间区域称型区域其中称型区域，是上的单值连续函数，是上的单值连续函数；

定理1设在矩形区域上可积，且对，积分都存在，那么累次积分

也存在，且

证明：令=，对区间和作分割

按这些分点作两组直线及把矩形分为个小矩形〔如下列图所示〕.

记；设在上的上、下确界分别为和.取都有

，

其中，那么有

其中.记的对角线长度为和，当时，和有相同极限，且极限值等于.因此当时，那么有

由于当时，，从而有

定理2假设函数在长方体上的三重积分存在，且对，二重积分

存在，其中，那么积分

也存在，且

证明：作分割，为平行于坐标面的平面网，他把分成有限个小长方体

设在上的上下确界分别是，.对于，在上有

作下标的相加，那么有

从而有

〔*〕

〔*〕式两边分割的下和与上和.由于在上可积，当时，上和、下和具有相同的极限.那么有〔*〕式可得在上可积，且

1.1先单次积分后二重积分法

一般情况下，求三重积分的计算，首先看其积分区域，如果其积分区域属于型〔或型亦或型〕，即={}，其中是在平面的投影，那么采用先单次积分后二重积分的计算方法，即

例1计算，其中，，，=，=；

解：在平面上的投影区域，而，那么有

〔图—例1〕〔图—例2〕

例2计算，其中为与所围成的区域；

解：在平面上的投影区域

，

，

那么有

1.2先二重积分后单次法

一般地，如果积分区域属于型〔或型亦或型〕，即=，其中是在轴上的投影区间，用=〔〕的平面去截所得的截面区域为，那么采用“先二后一法”。例如是—型区域，被积函数那么可采用先对，求二重积分后对求单次积分的顺序，也即是

例3求解，其中；

解：被积函数只依赖于变量，而限制在内，那么采用“先二后一法”可得

其中为用的平面截区域所得截面：

即为椭圆，其面积

那么有

例4计算，其中，，；

解：

1.3直接累次积分法

如果积分区域是规那么体或其积分区域表示为的任意不规那么时，将三重积分直接转化为累次积分；

例5计算，其中=；

解：由于区域是一成形的几何体形，且知道，那么有

2.在柱坐标系下的计算方法

在柱坐标系下三重积分的计算，类似于在直角坐标系中的计算，其实质上就是采用先单次积分后二重积分的累次积分法。如果积分区域是柱面、锥面或由柱面、锥面、旋转抛物面与其他曲面所围成的图形，且积分区域可表示为它投影区域在极坐标下的表示，那么可使用柱坐标变换：

：，

变换的雅可比行列式

从而有柱坐