三重积分的计算方法与例题.pdf

三重积分的计算方法：

三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定

积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：

z

如果先做定积分2f(x,y,z)dz，再做二重积分F(x,y)d，就是“投

zD

1

影法”，也即“先一后二”。步骤为：找及在xoy面投影域D。多



D上一点（x,y）“穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步

（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积

z

分，完成“后二”这一步。2

f(x,y,z)dv[f(x,y,z)dz]d

Dz

1

c

如果先做二重积分f(x,y,z)d再做定积分2F(z)dz，就是“截面

Dc

z1

法”，也即“先二后一”。步骤为：确定位于平面zc与zc之间，



12

即，过z作平行于xoy面的平面截，截面。区域的边

z[c,c]DD

12zz

界曲面都是z的函数。计算区域上的二重积分，完成

Df(x,y,z)d

z

D

z