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三重积分的计算方法种种

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摘要三重积分的计算一直是教学中的重点和难点，本文根据三重积分的被积函数的不同性质，总结了三重积

分计算的不同的处理方法，有的方法是选择合适的坐标系；有的方法是利用公式，做变量代换；还有的方法是利

用被积函数在积分区域中的特殊性质。这些方法可以简化三重积分的计算。

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关键词三重积分变量代换对称性

SeveralMethodsofCalculationofTripleIntegral

Abstract:Calculationoftripleintegralisaimportantanddifficultpartinteachingwork,inthispaper,

accordingtothedifferentcharacterofintegrandoftripleintegral,wegivedifferentcalculationmethods

oftripleintegral,bychoosingsuitablecoordinatesystem,andthevariablereplacementformula,the

specialcharacterofintegrandintheintegrationarea.Themethodscanmakethecalculationoftriple

integrationeasier.

Keywords:tripleintegral;variablereplacement;symmetry

1引言

三重积分的计算，有时是非常复杂的，如果找到了适合的方法，不仅可以避免在

解题时走弯路，节约时间，还可以保证准确高效的解答出问题。文[1]—[8]对选用合

适坐标系和利用公式，做变量代换，进行了简单的介绍，文[9]、[10]对运用对称性

求解三重积分做了详细的研究，[11]研究了截面法，本文总结了以上所有常用的解决

三重积分的计算方法。

2．三重积分的定义

[1]

设为定义在三维空间可求体积的有界闭区域上的函数，是一个确定

fx,y,zVJ

的数。若对任给的正数，总存在，使得对于的任何分割,只要T,属

0VT

于分割的所有积分和都有

T

n，

f,,VJ

iiii

i1

则称在上可积，数称为函数在上的三重积分，记作

fx,y,zVJfx,y,zV

1

Jfx,y,zdV或Jfx,y,zdxdydz，

VV

其中称为被积函数，，，称为积分变量，称为积分区域。

fx,y,zxy