对三重积分的计算方法的研究.doc

对三重积分的计算方法的研究 摘要：本文根据积分区域以及被积函数的特征，对三重积分的一些求解方法进行了分类、整理。包括：化三重积分为累次积分以及根据积分区域划分的“先一后二”法和“先二后一”法，换元法中的柱面坐标变换、球坐标变化和广义球坐标变换，基于三重积分的积分区域的对称性或被积函数的奇偶性的求解方法和利用曲面积分求解的方法。 关键词：三重积分 累次积分 换元法 对称性 曲面积分 Study on the Methods of Solving Triple Integrals Abstract: The paper deeply analyses the calculation method of triple integrals, based on the characteristics of integration domain and integrand. It mainly studies the method of turning triple integrals into accumulate integrals, “once then twice ”and “twice then once” according to characteristics of integration domain, the transformation of cylinder coordinates and spherical coordinates and generalized spherical coordinates, discusses how to use the symmetry of integration domain and the parity of integrand, to solve triple integrals, the method of transforming triple integrals into curved surface integral is also be investigated. Key words: triple integrals accumulate integrals coordinate alternate symmetry surface integral 1 预备知识 三重积分是数学分析中的重要内容，它在很多领域有着重要应用，但三重积分的求解却是一个难点。本文将根据积分区域以及被积函数的特征，对三重积分的求解方法进行分类整理。 定义1 为定义在三维空间可求体积的有界闭区域上的函数，J是一个确定的数。若对任意的正数，总存在某一正数，使得对于的任何分割，只要，属于分割的所有积分和都有 ， 则称在上可积，数J称为函数在上的三重积分，记作 或， 其中称为被积函数，称为积分变量，称为积分区域。 2 三重积分的计算方法 2.1将三重积分转化为累次积分 定理1 若函数在长方体上的三重积分存在，且对任何，二重积分存在，其中，则积分也存在，且。 例1 求三重积分，。 解： 2.1.1“先一后二”法 若积分区域为型区域时，选择“先一后二”法，即先求关于的积分，然后求关于的二重积分： = 例2 求，其中积分区域由平面与围成。 分析：，，选择“先一后二”法。 解： 2.1.2“先二后一”法 若积分区域为关于轴的截面区域，且被积函数可表示为: 、、 等，选择“先二后一”法，即先求关于的二重积分，再求关于的积分： 例3 用“先二后一”法求解例2。 分析：，被积函数为，选择“先二后一”法。 解： 例4 求，其中是椭球体。 分析：可被分解为3个简单被积函数的积分，每个被积函数只含有一个变量，且垂直于该轴的平面截面是一个椭圆面，采用“先二后一”法。 解: 其中 表示椭圆面： 其面积： 于是 同理可得: 所以： 当被积函数只含一个变量（如），并用垂直于该轴（轴）的平面截积分区域所得截面面积能用初等方法确定时，用该方法尤为简便。 2.2换元法 2.2.1柱面坐标变换 当积分区域是柱面、锥面或由柱面、锥面、旋转抛物面及其他曲面围成；被积函数可表示为、、、、、时，采用柱面坐标