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论二重积分的计算方法 PAGE  PAGE 13 论二重积分的计算方法 摘要 二重积分在高等数学中占有非常重要的地位，几乎触及到数学的各个范围。因此学会二重积分的计算方法特别重要。本文主要讨论了化累次积分法、换元计算法、极坐标计算法。 关键字：二重积分;计算方法;积分法;换元;坐标计算法 Discussion On The Calculation Method Of Double Integral Abstract Double integrals in higher mathematics plays a very important role in mathematics, almost touch each range. So learn to the double integral calculation method is particularly important. This paper mainly discusses the method of repeated integral, change element calculation method, calculation method of polar coordinates. Keywords: Double integral; Calculation method of ; Integral method For element; Coordinate ;Calculation method 第一章 重积分的概念 重积分的计算主要是把二重积分表达为一个二次积分，通过两次定积分的计算求得二重积分值。 第二章 累次积分法 2.1累次积分法其主要步骤； 累次积分法其主要步骤如下： 第一步：画出积分区域的草图； 第二步：按区域和被积函数的情况选择适当的积分次序，并确定积分的上、下限； 第三步：计算累次积分。 要注意的是，累次积分要选择适当的积分次序积分次序的不同将影响计算的繁简，有些题这两种次序的难易程度可以相差很大，甚至对一种次序可以“积出来”，而对另一种次序却“积不出来”。所以，适当选择积分次序是个很重要的。 2.2 二次积分在直角坐标系两种不同次序积分： 一是先积y后积x的累次积分，即：若在矩形区域上可积，且对每个，积分其存在，则累次积分也存在，且： 其二是先积后积的累次积分，即：若在矩形区域上可积，且对每个，积分存在，则累次积分也存在，且： 特别当在矩形区域上连续时，则有： 选择积分次序的原则是：尽可能将区域少分块，以简化计算过程；第一次积分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次积分的结果作第二次积分。 例题2.2。1 计算，是由 围成的区域 解：先画出区域的图形，如图2 先对后对积分，则由知 如果先对后对积分，由于不能用初等函数表示，这时重积分“积不出来”。 更换积分次序的理论依据是什么呢？ 对于给定一个二重积分，若分别把它化为积分次序不同的二次积分而得下列等式： ① ② 则显然有③ 如果首先给出③式中的一个二次积分（例如左端），而此时又无法计算结果或比较麻烦，则我们可以写出③式中的另一个二次积分（例如右端），这时重积分重要问题则转化为更换积分次序问题。 例题2.2.2．试更换的积分次序 解：把先对积分更换为先对积分 由原累次积分的上、下限可得 ，即 由的联立双边不等式可画出域的图形，如图3 再由图形写出先对的积分域的联立双边不等式，为此，作平行于轴的箭头穿区域，知先对后对积分必须将分为和，其中如图4 ， 则 对上面的例题可得更换积分次序的一般步骤为：  eq \o\ac(○,1)由原累次积分的上、下限列出表示积分域的联立双边不等式，例如  eq \o\ac(○,2)根据上列联立双边不等式画出区域的图形  eq \o\ac(○,3)按新的累次积分次序，列出与之相应的区域的联立双边不等式  eq \o\ac(○,4).按 eq \o\ac(○,3)中的不等式组写出新的累次积分的表达式。 关于这方面的应用我们再看一个例子。 例题1.23（华中理工大学,2000年）设在上连续，证明 证：改变积分顺序得： 第三章 换元计算法 计算定积分困难在于被积函数的原函数不易求得.适当地利用换元法可以把被积函数的形状进行转化，以便于用基本求积公式.下面以定理时间给出. 定理：设在有界闭区域上可积，变换将平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域一一地映成平面上的闭区域，且满足： 、函数在内分别具有一阶连续偏导数. 、在上有雅可比行列式 则. 在计算重积分时，求积的困难来自两个方面，除了被积函数的原因以外还在于积分区域的多样性。而且，有时候其积分区域往往成为困难的主要方面。