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二重积分的计算方法例题及解析

一、利用直角坐标计算二重积分

1.例题

-计算?_D(x+y)dσ，其中D是由直线y=x，y=x^2所围成的闭区域。

2.解析

-（1）首先确定积分区域D的范围：

-联立方程=ft{begin{array}{l}y=xy=x^2end{array}right.，

-解得=ft{begin{array}{l}x=0y=0end{array}right.和=ft{begin{array}{l}x=1y=1end{array}right.。

-所以在x的范围是0≤slantx≤slant1，对于每一个x，y的范围是x^2≤slanty≤slantx。

-（2）然后将二重积分化为累次积分：

-?_D(x+y)dσ=∫_0^1dx∫_x^2^x(x+y)dy。

-（3）先计算内层积分：

-∫_x^2^x(x+y)dy=∫_x^2^xxdy+∫_x^2^xydy。

-∫_x^2^xxdy=x=ft(y)=ft.rvert_x^2^x=x(x-x^2)=x^2-x^3。

-∫_x^2^xydy=(1)/(2)y^2=ft.rvert_x^2^x=(1)/(2)(x^2-x^4)。

-所以∫_x^2^x(x+y)dy=x^2-x^3+(1)/(2)(x^2-x^4)=(3)/(2)x^2-x^3-(1)/(2)x^4。

-（4）再计算外层积分：

-∫_0^1((3)/(2)x^2-x^3-(1)/(2)x^4)dx=(3)/(2)×(1)/(3)x^3-(1)/(4)x^4-(1)/(2)×(1)/(5)x^5=ft.rvert_0^1。

-=(1)/(2)-(1)/(4)-(1)/(10)=(10-5-2)/(20)=(3)/(20)。

二、利用极坐标计算二重积分

1.例题

-计算?_D√(x^2)+y^{2}dσ，其中D是圆x^2+y^2=2y所围成的闭区域。

2.解析

-（1）先将圆的方程化为极坐标方程：

-已知x=rcosθ，y=rsinθ。

-圆x^2+y^2=2y可化为r^2=2rsinθ，即r=2sinθ。

-（2）确定积分区域D在极坐标下的范围：

-对于r，0≤slantr≤slant2sinθ，对于θ，0≤slantθ≤slantπ。

-（3）将二重积分化为极坐标下的累次积分：

-?_D√(x^2)+y^{2}dσ=∫_0^πdθ∫_0^2sinθr·rdr。

-（4）先计算内层积分：

-∫_0^2sinθr^2dr=(1)/(3)r^3=ft.rvert_0^2sinθ=(8)/(3)sin^3θ。

-（5）再计算外层积分：

-∫_0^π(8)/(3)sin^3θdθ=(8)/(3)∫_0^πsin^2θ·sinθdθ。

-因为sin^2θ=1-cos^2θ，所以(8)/(3)∫_0^π(1-cos^2θ)sinθdθ。

-令u=cosθ，则du=-sinθdθ。

-当θ=0时，u=1；当θ=π时，u=-1。

-则积分变为-(8)/(3)∫_1^-1(1-u^2)du=(8)/(3)∫_-1^1(1-u^2)du。

-(8)/(3)(u-(1)/(3)u^3)=ft.rvert_-1^1=(8)/(3)[(1-(1)/(3))-(-1+(1)/(3))]=(32)/(9)。