2025年高等数学级数试题及答案.docx
高等数学级数试题及答案
姓名：____________________
一、选择题（每题5分，共20分）
1.设级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)的和为：
A.\(\frac{\pi^2}{6}\)
B.\(\frac{\pi^2}{3}\)
C.\(\frac{\pi^2}{2}\)
D.\(\frac{\pi^2}{4}\)
2.下列级数中收敛的是：
A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^2+1}\)
B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)
C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)
D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\)
3.设级数\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收敛，则级数\(\sum_{n=1}^{\infty}na_n\)必定：
A.收敛
B.发散
C.可能收敛也可能发散
D.不存在收敛或发散
4.设级数\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收敛，且\(a_n0\)，则级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n}\)必定：
A.收敛
B.发散
C.可能收敛也可能发散
D.不存在收敛或发散
5.设级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)的和为\(S\)，则级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\)的和为：
A.\(S\)
B.\(2S\)
C.\(\frac{S}{2}\)
D.\(\frac{S}{3}\)
二、填空题（每题5分，共20分）
1.设级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)的和为\(S\)，则\(S=\frac{\pi^2}{6}\)。
2.若级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)收敛，则\(p1\)。
3.级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)是发散的调和级数。
4.级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)是收敛的\(p\)-级数。
5.级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\)是收敛的\(p\)-级数。
三、计算题（每题10分，共30分）
1.计算级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)的和。
2.判断级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^2+1}\)的敛散性。
3.计算级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\)的和。
四、证明题（每题10分，共20分）
1.证明级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)是收敛的。
2.证明级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)是发散的。
五、应用题（每题10分，共20分）
1.已知函数\(f(x)=\frac{1}{1+x^2}\)，求\(\int_0^{\infty}f(x)\,dx\)的值。
2.设\(f(x)=\frac{1}{1+x^2}\)，证明\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{1+x^2}=0\)。
六、综合题（每题15分，共30分）
1.设级数\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收敛，且\(a_n0\)，证明级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n}\)也收敛。
2.设级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)的和为\(S\)，证明\(S\frac{\pi^2}{6}\)。
试卷答案如下：
一、选择题
1.答案：A
解析思路：根据著名的巴塞尔问题，\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)的和为\(\frac{\pi^2}{6}\)。
2.答案：B
解析思路：级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)是一个\(p\)-级数，其中\(p1\)，因此它是收敛的。
3.答案：C
解析思路：若级数\(