《高等数学》第9章无穷级数教学课件.ppt
9-2幂级数对于一个给定的幂级数,我们要讨论x取何值时幂级数收敛,取何值时幂级数发散?这就是幂级数的收敛性问题.由于级数(10.7)的各项可能符号不同,将级数(10.7)的各项取绝对值,得到正项级数设当n充分大时,an≠0令(10.8)则.9-2幂级数由比值判别法可知:若<1,即∣x∣<R,则级数(10.7)绝对收敛;若>1,即∣x∣>R,则级数(10.7)中当n充分大时有∣un+1∣>∣un∣,由此可知≠0,故级数(10.7)发散.这个结论表明,只要0<R<+∞,就会有一个对称开区间(-R,R),在这个区间内幂级数绝对收敛,在这个区间外幂级数发散,当时,级数可能收敛也可能发散.称为幂级数(10.7)的收敛半径.区间(-R,R)称为该幂级数的收敛区间.幂级数在收敛区间内绝对收敛.我们把收敛区间的端点x=±R代入幂级数中,判别所得到的常数项级数的收敛性后,就可以得到幂级数的收敛域.特别,当时R=+∞,级数(10.7)对一切实数x都绝对收敛;当时R=0,幂级数(10.7)仅在处收敛.9-2幂级数9-2.3幂级数的运算设有两幂级数和函数分别为s1(x),s2(x),收敛半径分别为R1,R2,记R=min{R1,R2},则在(-R,R)内有如下运算法则:9-2幂级数1.加法运算也就是说,两收敛的幂级数在公共的收敛区间(-R,R)内可以逐项求和(或差),其和函数为原两幂级数的和函数之和(或差).9-2幂级数2.乘法运算也就是说,在区间(-R,R)内,两收敛的幂级数的乘积也是一个幂级数,其中xn个的系数由n+1个形如aibj(i+j=n)的项之和构成.设,收敛半径为R,则在(-R,R)内有如下运算法则:9-2幂级数3.微分运算这就是说,幂级数在收敛区间内可以逐项求导,求导后所得幂级数的收敛半径不变,其和函数为原级数的和函数的导数.9-2幂级数4.积分运算这就是说,幂级数在收敛区间内可以逐项积分,积分后所得幂级数的收敛半径不变,其和函数为原级数的和函数在相应区间上的积分.9-2幂级数9-2幂级数以上公式(10.9)称为函数f(x)的泰勒公式.Rn(x)叫做泰勒公式的拉格朗日型余项.在泰勒公式中,当x0=0时,令ξ=θx(0<θ<1),我们就得到麦克劳林公式(10.10)其中9-2幂级数定义10.7如果f(x)在点x0的某邻域内具有任意阶导数,则形如(10.11)的幂级数,称为函数f(x)在点x0的泰勒级数.当x0=0时,泰勒级数的特殊形式(10.12)称为函数f(x)的麦克劳林级数.9-2幂级数9-2幂级数如果f(x)在x=x0处的泰勒级数收敛于f(x),则f(x)在x=x0处可展开成泰勒级数,即称其为f(x)在x=x0处的泰勒展开式,也称为f(x)关于x-x0的幂级数.当x0=0时,有称为函数f(x)的麦克劳林展开式.如果函数能展开成关于x的幂级数,则这个幂级数一定就是函数的麦克劳林级数,即函数的幂级数展开式是唯一的.9-2幂级数9-2幂级数9-2幂级数第9章无穷级数9-1数项级数9-1数项级数例如都是数项级数.等差数列的各项之和称为算术级数.等比数列各项的和称为等比级数,也称为几何级数.级数称为p-级数,当p=1时,称为调和级数.9-1数项级数9-1数项级数显然,当级数收敛时,其部分和sn是级数的和s的近似值,它们之间的差值rn=s-sn=un+1+un+2+…叫做级数的余项.用近似值sn代替和s所产生的误差是这个余项的绝对值,即误差是|rn|.9-1数项级数例1判别级数的收敛性.解因为所以这级数收敛,它的和为1.9-1数项级数例2证明级数是发散的.证明级数的部分和为因此所给