高等数学-无穷级数.ppt

解 解 比值审敛法失效. 根值审敛法也一定失效. 改用比较审敛法 要判别一个正项级数是否收敛，通常按下列步骤进行： (1)用级数收敛的必要条件 如果 ，则级数发散，否则需进一步判断. (2)用比值判别法 如果 ，即比值判别法失效，则改用比较判别法. (3)用比较判别法 用比较判别法必须掌握一些敛散性已知的级数，以便与要判定的级数进行比较，经常用来作为比较的级数有等比级数， 级数等. 三、交错级数及其敛散性 级数 称为交错级数. 定理4（莱布尼兹判别法） 如果交错级数 满足莱布尼兹(Leibniz)条件: (1) (2) 则级数 收敛，其和 S≤ ，其余项 ≤ 例6 判定交错级数 的敛散性. 解 此交错级数 ，满足： (1) ； (2) 由莱布尼兹判别法知级数收敛. 四、绝对收敛与条件收敛 定义3 对于任意项级数 ,若 收敛，则称 是绝对收敛的；若 收敛，而 发散，则称 是条件收敛的. 定理5 绝对收敛的级数必是收敛的. 例7 判定级数 的敛散性. 解 因为 ≤ ， 而级数 收敛，故由比较判别法可知级数 收敛，从而原级数 绝对收敛. 例8 判别级数 的敛散性，说明是否绝对收敛. 解 因为 故由比值判别法可知级数 收敛，所以原级数 绝对收敛. 例9 判别级数 是否绝对收敛. 解 因为 故由比值判别法可知级数 发散，从而原级数 不是绝对收敛. 例10 证明级数 条件收敛. 证 由莱布尼兹判别法知级数 收敛，而 为调和级数，它是发散的，故所给级数条件收敛. 第二节 幂级数 一、幂级数的概念 1.函数项级数 如果级数 的各项都是定义在某个区间I上的函数，则称该级数为函数项级数， un(x)称为一般项或通项. 当x在I中取某个特定值 时，函数项级数就是一个常数项级数.如果这个级数收敛，则称点 为这个级数的一个收敛点。若发散，则称点 为这个级数的发散点.一个函数项级数的收敛点的全体称为它的收敛域. 对于收敛域内的任意一个数x，函数项级数成为一个收敛的常数项级 数，因此有一个确定的和 S，在收敛域内，函数项级数的和是 x 的函数 S(x)，通常称S(x)为函数项级数的和函数，即 其中 x 是收敛域内的任一点. 将函数项级数的前项和记作 ，则在收敛域上有 2.幂级数的概念 形如 的函数项级数，称为 的幂级数，其中常数 称为幂级数的系数. 当 ＝0时，幂级数变为 称为 x 的幂级数. (1)怎么求幂级数的收敛半径 x 的幂级数各项取绝对值，则得到正项级数 由比值判敛法 其中 当 时，若