2018-2019学年高中一轮复习数学讲义第五章平面向量.doc
第五章eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,,,,,))平面向量
第一节平面向量的概念及其线性运算
1．向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为0的向量；其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±eq\f(a,|a|)
平行向量
方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)
0与任一向量平行或共线
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则
(1)交换律：a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.
[小题体验]
1．下列四个命题中，正确的命题是()
A．若a∥b，则a＝b B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若|a|＝|b|，则a∥b D．若a＝b，则|a|＝|b|
答案：D
2．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k()
A．共线 B．不共线
C．共线且同向 D．不一定共线
答案：D
3．若D是△ABC的边AB上的中点，则向量eq\o(CD,\s\up7(―→))等于()
A．－eq\o(BC,\s\up7(―→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up7(―→)) B．－eq\o(BC,\s\up7(―→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up7(―→))
C．eq\o(BC,\s\up7(―→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up7(―→)) D．eq\o(BC,\s\up7(―→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up7(―→))
答案：A
4．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.
答案：－eq\f(1,3)
1．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．
2．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．
3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．
[小题纠偏]
1．若菱形ABCD的边长为2，则|eq\o(AB,\s\up7(―→))－eq\o(CB,\s\up7(―→))＋eq\o(CD,\s\up7(―→))|＝________.
解析：|eq\o(AB,\s\up7(―→))－eq\o(CB,\s\up7(―→))＋eq\o(CD,\s\up7(―→))|＝|eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(BC,\s\up7(―→))＋eq\o(CD,\s\up7(―→))|＝|eq\o(AD,\s\up7(―→))|＝2.
答案：2
2．已知a，b是非零向量，命题p：a＝b，命题q：|a＋b|＝|a|＋|b|，则p是q的________条件．
解析：若a＝b，则|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即p?q.
若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算知a与b同向共线，
即a＝λb，且λ0，故q?/p.
∴p是q的充分不必要条件．
答案：充分不必要
eq\a\vs4\al(考点一平面向量的有关概念)eq\a\vs4\al(?基础送分型考点——自主练透?)
[题组练透]
1．设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是()
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.
2．下列说法中错误的是()
A．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段
B．若向量a和