第二章矩阵论.ppt

第二章 内积空间与等距变换 本章将对一般的线性空间引进内积运算，从而导出内积空间，引入向量之间度量关系，如长度、距离等，并建立标准正交基。 第一节 内积空间的基本概念 一.内积空间的定义 第二节标准正交基与Schmidt正交化 第三节 正交子空间 第四节 等距变换 * 定义 设V为数域P （ P为R或C）上的线性空间, 若按照某种对应法则, 使得V中任两个元素都可以确定一实数, 且这个对应法则满足：对 ,有 （1）共轭对称性： （2）齐次性： （3）可加性： （4）正定性： ，当且仅当 时， . 则称该对应法则为V上的一个内积 , 实数 称为 与 的内积. 定义了内积的线性空间称为内积空间. 当P =R时，定义了内积的实线性空间V称为欧几里德空间（简称欧氏空间），也称实内积空间. 当P =C时，定义了内积的复线性空间V称为酉空间，也称复内积空间. 例1 在实线性空间 中，对任意两个向量 ， ，定义 易证这样定义的 满足内积的4个条件, 所以是 的一种内积, 称为 的标准内积。 例3 对 ，定义内积为 用定积分的性质可证明这样定义的 是 的内积。 例2 对 , 定义 可验证这样定义的 也是 的内积。 定理2.1 （Cauchy-Schwarz不等式）设V为内积空间，对 ，有 其中等号当且仅当 与 线性相关时成立 注：把Cauchy-Schwarz不等式应用到例1的 中，得 把Cauchy-Schwarz不等式应用到例3的 中，得分析中著名的不等式 二.向量的长度与夹角 定义 在欧氏空间V中, 对 ，称非负实数 为向量的长度（或范数、模）,记为 . 当 时，称 为单位向量。 向量的长度具有下列性质： 1）非负性： ， ； 2）齐次性： ， ， ； 3）三角不等式： . 对 , 是与 同方向的单位向量， 由 求 的过程称为把向量单位化。 定义 对欧氏空间V 中任意非零元素 ,规定 为非零元素 与 的夹角。若 ，则称向量 与 正交，记为 . 由定义可知，与几何向量一样有 （1） ，有 ； （2） ，若 ； （3）若 是非零元素，则 与 的夹角为 . 例 在C[a,b]中，由例3中内积的定义,证明三角函数组 是两两正交的，但它们不是单位向量。 一.标准正交基 定义 在内积空间V中，一组两两正交的非零向量称为V中的正交向量组。 定理2.2 若 是正交向量组，则 线性无关。 定义 设 是内积空间V的一组基， 且它们两两正交, 则称 为V的一组正交基。当正交基 都是单位向量时，则称为这组正交基为标准正交基。 由定义知，是内积空间的标准正交基的充要条件是 定理2.3 设 是内积空间V