第二章 矩阵的运算及与矩阵的秩.ppt

第二章　矩阵的运算与矩阵的秩 §2.1　矩阵的基本运算 一、矩阵的线性运算 运算规律（设为A ,B,C同型矩阵，k,s,l为给定的数） 二、矩阵的乘法 每种商品进货单价和销售单价（元）如下表： 定义2.2　设 A=(aij) m×s ，B=(bij)s×n ，那么称 C=AB=(cij) m×n 为矩阵A与B的乘积.其中 3）矩阵乘法法则：乘积C的第i行第j列的元素Cij等于矩阵A的第i行的元素与矩阵B的第j列的对应元素乘积之和。 矩阵乘法满足的运算律： 方阵的幂 设A是n阶方阵，k是正整数，k个A连乘称为A的k次幂，记作 Ak ，即 例2.5 用数学归纳法证 2. 矩阵与初等矩阵的乘积 例如：计算下列矩阵与初等阵的乘积 即： AE(i,j)：相当于交换A的第i列与第j列； AE(i(k))：相当于用非零数k 乘矩阵A的第i列； AE(i,j(k))：相当于A的第i列乘k加到第j列上． 推论：若m×n矩阵A与B等价，则存在若干个m×m初等矩阵Pi(i=1,2-----,s)和若干个n×n初等矩阵Qj(j=1,2-----,t)使得 三、矩阵的转置 §2.2　 分块矩阵 1．分块矩阵相加、减 2.数与分块矩阵相乘 3．分块矩阵相乘 分块对角阵乘法： 4．分块矩阵的转置 §2.3　可逆矩阵 §2.3　可逆矩阵 一、可逆矩阵的概念 注： (1)若矩阵A可逆，则其逆矩阵唯一。 另外： 若方程组AX=B的系数矩阵A为方阵且可逆，则X= A-1 B． 由逆矩阵的唯一性可知，X= A-1 B为方程组的唯一解． 定理2.2　设A,B都是n阶可逆矩阵，则AB可 逆，且（AB）-1 =B-1A-1． 二、可逆矩阵与初等矩阵的关系 引理　任意一个矩阵 A=(aij) m×n ，都与形如 定理2.3　n阶方阵A可逆的充要条件是A与单位阵等价，即：存在若干个初等矩阵P1,P2,---Pl，使得A=P1P2---Pl §2.4　矩阵的秩 定理2.4 对任意矩阵A=(aij) m×n 都有唯一确定的矩阵 二、矩阵的秩 §2.5　齐次线性方程组解的讨论 推论 若齐次线性方程组的方程个数小于未知量的个 数，则该方程组必有无穷多个解，从而有非零解． 例2.17 求如下齐次线性方程组的解. §2.6　应用举例 一、密码问题 某种明码电报的编码是用四个阿拉伯数字表示一个汉字． 比如，原文是“十七时进攻”的明码是 §2.5 齐次线性方程组解的讨论 §2.5 齐次线性方程组解的讨论 由于r=3n=5,所以有无穷多解. §2.5 齐次线性方程组解的讨论 2101 进 1021 0112 0210 1200 编码 攻 时 七 十 汉字 §2.6 应用举例 §2.6 应用举例 §2.1 矩阵的基本运算 例2.8 设A、B均是n阶对称矩阵，求证AB是对称矩阵的充要条件是A、B可交换. 例2.9 设A是n阶对称矩阵,B是n阶反对称矩阵，证明AB+BA是反对称矩阵. §2.2 分块矩阵 一、分块矩阵的概念 矩阵的分块就是将矩阵A用若干纵线和横线分成几个小矩阵，每一小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵，称为分块矩阵。 §2.2 分块矩阵 二、分块矩阵的运算 设A、B是两个用相同方法分块的同型矩阵 §2.2 分块矩阵 §2.2 分块矩阵 设A=(aij)m×s，B=(bij)s×n，并作如下分块： §2.2 分块矩阵 分块矩阵相乘的条件： (1) A分出的列子块数＝B分出的行子块数 (2) A中每一个子块的列数＝B中相应的子块的行数 §2.2 分块矩阵 §2.2 分块矩阵 §2.2 分块矩阵 §2.2 分块矩阵 例2.10 §2.3 可逆矩阵 引例：电报的发送 原文 编码 Y 加密 YA(=T) 电文 电文 T TA-1(=Y) 原文 解码 传送 编码 解密 解码 §2.3 可逆矩阵 比如，原文是“十七时进攻”的明码是 2101 进 1021 0112 0210 1