第二章矩阵代数基础.ppt

第二章 矩阵代数基础 刘子忠 2.1 引言 为何要学习矩阵代数知识？ 已学过：分子的对称操作如何构成点群及 点群的分类和符号。 下一目标：寻找和对称操作行为相似的矩阵集合，即和对称操作同态的矩阵。这些矩阵称为对称操作的表示，即以数学方法来表达分子对称性的含义，是群论应用于化学全部问题的中心。 作法：建立矩阵表示与点群间的联系，应用矩阵表示的数学定理来解决不同的化学问题。 在建立矩阵表示与点群间的联系之前，必须了解一点矩阵本身的性质。 2.2 矩阵定义 定义 矩阵是称作元素的数字（或符号）的矩形列阵。 这些元素写在小括号或中括号之间。 如： 《群论与化学》只涉及方阵（行数等于列数）、单行或单列矩阵。 通常用大写斜体字母代表矩阵，小写字母代表矩阵元素。如：A表示矩阵，aij表示矩阵A的第i行j列元素。 方正的行数（或列数）称为矩阵的阶。 矩阵有确定的运算规则。 注意矩阵与行列式的区别： 行列式：是一些元素的正方列阵，代表着这些元素确定的乘积的总和，有确定的数值。用列阵的两边加单根数线表示，如： 行列式的展开 二阶行列式展开 三阶行列式展开 n阶行列式展开 一个行列式等于任意给定的列（或行）的元素与它们相应的代数余子式乘积的总和。 例如行列式 某元素的余子式：将该元素所在行和所在列划掉后得到的低一阶的行列式。如元素a22的余子式为： 某元素的代数余子式：将该元素的余子式乘以(-1)i+j, 例如将下列行列式按第一行展开 或者将下列行列式按第三列展开 一个方阵的行列式就是将该矩阵认作行列式即可，假如矩阵为A，我们就将其行列式记作det(A),即： 则 2.3 矩阵代数 （1） 相等 两矩阵A和B相等，当且仅当对于所有i和j均有Aij=Bij.例如 若 且 A=B 则 （2） 加法与减法 只有相同维数的矩阵才可以相加或相减。在此情况下， A与B之和可用矩阵C 表示。 A + B =C 其中对所有i和j均有 Cij = Aij + Bij.例如 同理，A减B可用矩阵C表示 A - B =C 其中对所有i和j均有 Cij = Aij - Bij.例如 由此推论，用数c乘以矩阵A得到矩阵B， B=cA 其矩阵元对所有i和j都由 Bij = cAij 给出.例如 （3） 乘法 A和B两矩阵，当且仅当A的列数，假定为n，等于B的行数时，才可以相乘（称为矩阵乘法），其乘积定义为矩阵C C = AB 其矩阵元对于所有i和j都按方程 得到。如果矩阵A有m行n列（mxn矩阵），而矩阵B有n行p列（nxp矩阵），则矩阵C 必为m行p列（mxp矩阵）。例如 例1 例2 例3 记忆法：取第一个矩阵的各行按向量乘法依次乘以第二个矩阵的各列，第i行和第j 列相乘得乘积中的i、j元素。 两个以上矩阵的相乘，只要多次运用乘法规则，一次将一对矩阵相乘 A(BC)= (AB)C 对于三个矩阵的乘积，D=ABC 乘积的一般元素，对所有i和j都可通过 给出，式中 r是A的列数，必须和B的行数相同，而s是B的列数，必须和C的行数相同。 注意：相乘的矩阵其行数和列数的限制。 一般来说： AB≠ BA 矩阵的应用 可以用简单的形式表示线性方程组。例如： 可以写成： AX=Y 此外，若与该方程相关联的还有方程组： 则 Z=BY 式中 因此 (BA)X=Z 表示意义：若矩阵B定义y变换成z，而矩阵A定义 x变换成y，那么，由x到z的变换就由矩阵BA确定。 （4 ）“除法” 矩阵“除法”如同算符一样，“除法”只能经过一个逆过程来完成。 凡是矩阵A具有非零行列式，即 Det(A)≠0 则称矩阵A为非奇异矩阵。 对于且仅仅对于非奇异矩阵，才能按照下面等式来定义其逆矩阵方法求其逆矩阵A-1 AA-1=A-1A=E 式中E是恒等矩阵 和除法等价的矩阵运算是一个逆矩阵相乘，例如，当 AB=C ABB-1=CB-1 AE=CB-1 A=CB-1 注意：由于矩阵不一定