第二章矩阵各节容讲解.ppt

第二章 矩阵各节内容讲解 §2·1 矩阵的概念 §2·2 矩阵的运算 §2·3 几种特殊矩阵 §2·4 n阶方阵的行列式 §2·5 逆矩阵 §2·6 矩阵的初等变换和初等矩阵 §2·7 矩阵的秩 §2·8 分块矩阵 2·1 矩阵的概念 例如 特别地 矩阵概念与行列式概念的区别： 2、二者记号不同： 例 对m×n 线性方程组 把未知量的系数按原来次序拿出来作一个矩阵 2·2 矩阵运算 定义 若两个有相同行数和相同列数的矩阵 一、矩阵的加法 例如 二、数与矩阵的乘法（简称数乘） 数乘的性质： 设A,B,O均为m×n矩阵，k,t为常数, 则 (1) k(A+B)=kA+kB (2) (k+t)A=kA+tA (3) (kt)A=k(tA)=t(kA) (4) 1A=A (5) 0A=O (6) 若k≠0, A≠O,则 kA≠O 例2 求矩阵X，使3A+2X=3B。其中 例3 设 例7 设 求：AB,AC. 矩阵乘法与实数乘法的比较： (1) 实数乘法满足交换率。即ab=ba 矩阵乘法不满足交换率。即 AB≠BA (2) 实数乘法满足消去率。 即：若ab=ac,且a≠0,则有b=c, 矩阵乘法不满足消去率 即：由 AB=AC,且A≠O,不能得出B=C. (3)在实数乘法中，若ab=0,可推出a=0或b=0, 在矩阵乘法中，由AB=O不能推出A=O或B=O. 矩阵乘法的性质： (1) A(BC)=(AB)C (2) t(AB)=(tA)B=A(tB) (3) (A+B)C=AC+BC (4) A(B+C)=AB+AC (5) AE=EA=A 定义 设A为n阶方阵，k为正整数，k个A的连乘积 称为方阵A的k次幂。记为：Ak 方幂的性质： 四、矩阵的转置 定义 将矩阵A的行列互换得到的矩阵，称为矩A的转置矩阵，简称转置。 转置的性质： 定义 由n阶方阵A的元素按原来的顺序构成的行列式，称为方阵A的行列式。 方阵的行列式性质： 设A、B是n阶方阵，t是常数，则 注意： 4.可逆矩阵的性质 小 结 定义 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵： 二、初等矩阵的概念 例1 以下矩阵是否初等矩阵? 对换矩阵：（①，②） 倍加矩阵：③＋①×(－1) 不是初等矩阵 2.初等矩阵均可逆。 1.初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵. 三、初等矩阵的性质 四、初等矩阵的应用 例2 注意下列矩阵运算：设 定理1 设A是一个m? n矩阵,对A施行一次初等行变换,相当于在A的左边乘以相应的m 阶初等矩阵. 初等行变换 初等矩阵 对换变换：（①，②） 倍乘变换②×3 倍加变换②＋①×(－3) ②＋①×(－2) ③＋① ③ + ② ②＋①×(－6) ③＋①×(－7) ②+③×(－1) ③+②×(－6) ③ ×1 /7 ②+③×3 ①+③×(-3) ①+②×2 ②×(-1) 定理2 方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵 由此得到求逆矩阵的另一种方法：初等行变换法。 例3 解 ②＋①×(－2) ③+①×(-3) ①＋② ③+②×(－1) ①+③×(-2) ②+③×(-5) ③ ×(-1 ) ②×(－1/2) 即 初等行变换 例5 解 1. 单位矩阵 初等矩阵. 一次初等行变换 2. 利用初等变换求逆阵的步骤是: 2.7 矩阵的秩 矩阵的秩是反映矩阵本质属性的重要概念之一。为介绍矩阵的秩的概念，首先给出阶梯形矩阵的定义。 定义 满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵，简称阶梯阵： （1）如果矩阵有零行，零行在矩阵的最下方。 （2）各个非零行（元素不全为０的行）的第1个非零元素(称为主元）的列标随着行标的递增而严格增大； 例1， 都是阶梯阵；而 都不是阶梯阵。 4、矩阵的乘积：设矩阵 ， ， 注意：(1) 矩阵乘法不满足交换率，即：AB≠BA (2) 矩阵乘法不满足