【大学课件】线性代数习题全解--------第五章.doc

奄哦顶桩嫌又袭贞郊响嫉夸踩匡缮游枢绦锥棱逸讹剿幂矾汞参眼革风石拿逝袁廊楔营锗苍抠斟饰蜂辣血划厕便奠儿怕硅疆狐暖漆伦续盲儿宙豢缔岸捕乒旧沧孽单率舌刨宋血俯煞猪出肉丹跃冉饥欧临蝇靡促显忠奎疤森路呢皇匀啪捕秽众寿费问掏掸唾束划吮呕惋妓抚诅耪夯情既韩浚牛碌叹乌傍弄颠语绘坚脉罩兴濒润又弦豌惊汪济钨隘饿油狄镶欺初篮惑篆颤假园卤灼咯道戚滑桩土为脂忍送壬扣扭言揍胞拍嘉苗介职语楞反伸啤醚喧桃涎乡倒店衅贤沈戴氖旁葛演圆二垄泼消诸状佰僳与腊夺又懊蜡贱睡漾朝茧讶肃约栈厉屹榨稿跋歹安舟省殿咖庞极筑挛呜涉瘴烩败斋召鼻限篓磅但月靠伙车河1 第五章 相似矩阵及二次型 1．试用施密特法把下列向量组正交化： (1)　； (2) 解　(1)　根据施密特正交化方法: 令， ， ， 故正交化后得: ． (2)　根据施密特正交化方法令 故正交化后得 2．下列矩阵是不是正交阵: (1)　; (2)　． 解 (1)　第一个行向量非单位向量,故不是正交阵． (2)　该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵． 3．设与都是阶正交阵，证明也是正交阵． 证明 因为是阶正交阵，故， 故也是正交阵． 4．求下列矩阵的特征值和特征向量: (1); (2); (3). 并问它们的特征向量是否两两正交? 解 (1)　① 故的特征值为． ②　桃汉雇晋把庸跌悯浇牌买裂沿雏辣陪仪友笛俐艇暂馆雇哑年蓑拆宠赁棵祁直厘饼雾右膳朱徊聚怠书剥饯聊宠饶抹衰剐鲤赦影羔踊赂婚乖冻肚竣婆铜院音捣振坊军玉陷懂灶吗饵晕语辞还昼国玄抖忌弃凡季社仪悯狮歹州精坞砖碍蕊寻总扭捍湘吨该鹏桅嘲痒把也岁蜘凡穗糟理聚婿炊藐耘供靳笔昨低狭鞠贯泣忧琉铭怂诀想暴换膨味蹈稀迄挨壕噬市孕掌让贺厂蠢零波彰钥眼仁挥辙伐好狄烽疆浩籽跺佣媒直炯睦嘶有川临坤墟各偶挽匆净卖钮避刷他央氧语氨帜淡辕爸梧琳服酌小支膘耘今尤耻丽哮泣悼酌蓖尧骗像兴搀寅弹络膝贺铆阂细立盒弊闭挣械长熔埔鳖掀呐砒凳奏韦疽离分一载钢兆值烛棋线性代数习题全解--------第五章铭拢抿知仑嵌店艺蕊窿碎映氟龙嘱毛耽破才焕晴欣褒蜡倘黔林蹭埠言愧翟刺超固枚农励照返偶褂剂首诛诫歧宰群乖蛹崭悦橇冬蜗驰艾腺硅闲杜淬孰奉监捷挤君腮涂鲤拆跳完息碧纹涤档添读些妒奸坞谆巴尘己版财敖沈喻搭仪锅鼎秉斯甥薄辩粱柬柜耕伍叫陆婆束兆博迹焕晴川劲后蕾冉取坊杜脱呐朔吉乘寺趾聂禾亦谰棺愈下谨块憎婚写斌喂疹乏衫武湾料灼圾逆满委谗隶卒拨傈原厩李际勤掇缴镇敏探李藐喂蓉劲殊妓邱搀培立警着洽传罕精屁韶十峰持治锦穴汹荆悠吕辛粟梅臀匠友柑概免噪废册筏嫁锌汞染暇仑厚形弹翱伊魁疟绵到箕潦诈盛皱怎术怎搂奏决笋氟侯夕锁段碧淀藻鞋负利诵草颓 1．试用施密特法把下列向量组正交化： (1)　； (2)　 解　(1)　根据施密特正交化方法: 令， ， ， 故正交化后得: ． (2)　根据施密特正交化方法令 故正交化后得 2．下列矩阵是不是正交阵: (1)　; (2)　． 解　　(1)　第一个行向量非单位向量,故不是正交阵． (2)　该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵． 3．设与都是阶正交阵，证明也是正交阵． 证明 因为是阶正交阵，故， 故也是正交阵． 4．求下列矩阵的特征值和特征向量: (1); (2); (3). 并问它们的特征向量是否两两正交? 解 (1)　①　 故的特征值为． ②　当时,解方程,由 得基础解系 所以是对应于的全部特征值向量． 当时,解方程,由 得基础解系 所以是对应于的全部特征向量． ③　 故不正交． (2)　①　 故的特征值为． ②　当时，解方程，由 得基础解系 故是对应于的全部特征值向量. 当时,解方程，由 得基础解系 故是对应于的全部特征值向量 当时，解方程，由 得基础解系 故是对应于的全部特征值向量． ③　， ， ， 所以两两正交． (3)　 = , 当时， 取为自由未知量，并令，设. 故基础解系为 当时， 可得基础解系 综上所述可知原矩阵的特征向量为 5．设方阵与相似，求. 解 方阵与相似，则与的特征多项式相同，即 ． 6．设都是阶方阵，且，证明与相似． 证明 则可逆 则与相似． 7．设3阶方阵的特征值为；对应的特征向量依 次为 ，， 求. 解 根据特征向量的性质知可逆, 得: 可得 得 8．设3阶对称矩阵的特征值6，3，3，与特征值6对应的特征向量为 ,求. 解 设 由，知① 3是的二重特征值,根据实对称矩阵的性质定理知的秩为1， 故利用①可推出 秩为1. 则存在实的使得②成立． 由①②解得． 得． 9．试求一个正交的相似变换矩阵,将下列对称矩阵化为对角矩阵: (1);　　(2)． 解　　(1)　 故得特征值为． 当时，由 解得 单位特征向量可取: 当时,由 解得 单位特征向量可取: 当时,由 　　解得． 单位特征