【大学课件】线性代数习题全解--------第六章.doc
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;
(2)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体;
(3)2阶对称矩阵的全体.
对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间,并写出各个空间的一个基.
解 (1)设分别为二阶矩阵,则显然
,从而对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间.
是的一个基.
(2) 设,
, .
是一个基.
(3)设,则
,从而
,故,所以对于加法和乘数运算构成线性空间.
是的一个基.
2.验证:与向量不平行的全体3维数组向量,对于数组向量的
加法和乘数运算不构成线性空间.
解 设,设,
,则.但即不是线性空间.
3.设是线性空间的一个子空间,试证:若与的维数相等,则
.
证明 设为的一组基,它可扩充为整个空间的一个基,由
于从而也为的一个基,则:对于可
以表示为.显然,,故,而由
已知知,有.
4.设是维线性空间的一个子空间,是的一个基.试
证: 中存在元素,使,成为的一个
基.
证明 设,则在中必存在一向量,它不能被
线性表示,将添加进来,则是线性无关的.若
,则命题得证,否则存在则
线性无关,依此类推,可找到个线性无关的向量
,它们是的一个基.
5.在中求向量在基,,
下的坐标.
解
坐标变换公式:
故所求为.
所求坐标为.
6.在取两个基
,,
试求坐标变换公式.
解 设,
,.
其中,,
坐标变换公式,
现求
.
所以坐标变换公式为
.
7.在中取两个基
(1) 求由前一个基到后一个基的过渡矩阵;
(2) 求向量在后一个基下的坐标;
(3) 求在两个基下有相同坐标的向量.
解 (1) 由题意知
从而由前一个基到后一个基的过渡矩阵为
(2) 设向量在后一个基下的坐标为则有
即 ,
故
.
(3)由(2)知
,
解方程组得 (为常数)
8.说明平面上变换的几何意义,其中
(1); (2) ;
(3); (4).
解 (1)
即与原向量关于轴对称
(2)
即将原向量投影到轴上.
(3)
即与原向量关于直线对称.
(4)
即将原向量顺时针旋转.
9.阶对称矩阵的全体对于矩阵的线性运算构成一个维线性
空间.给出阶矩阵,以表示中的任一元素,变换
称为
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